与事业单位签订合同后，若事业单位不付款，一般不能直接申请其履行法定职责，但可以通过法律途径要求其履行合同义务或承担违约责任。以下从不同角度为你详细分析：
一、事业单位的性质与法定职责
事业单位通常是国家为了社会公益目的，由国家机关举办或者其他组织利用国有资产举办的，从事教育、科技、文化、卫生等活动的社会服务组织。其法定职责主要依据其设立目的、职能范围以及相关法律法规来确定，一般并不直接包括与合同相对方之间的付款义务。合同付款义务是基于双方签订的合同而产生的，属于合同义务，而非法定职责。
二、合同义务与违约责任
合同义务：当你与事业单位签订合同后，双方就形成了合同关系，各自享有合同约定的权利，并承担相应的义务。如果合同中明确约定了事业单位的付款义务，那么事业单位就应当按照合同约定的时间、方式等履行付款义务。
违约责任：如果事业单位未按照合同约定履行付款义务，就构成了违约。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，违约方应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。因此，你可以要求事业单位继续履行付款义务，或者要求其赔偿因违约给你造成的损失。
三、法律途径与救济方式
协商与调解：在事业单位不付款的情况下，你可以首先尝试与事业单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。如果协商无果，你可以考虑通过调解的方式解决纠纷，比如向相关的行业协会、调解组织等申请调解。
仲裁或诉讼：如果协商和调解都无法解决纠纷，你可以根据合同中的仲裁条款或者事后达成的仲裁协议，向仲裁机构申请仲裁。如果合同中没有仲裁条款或者事后没有达成仲裁协议，你也可以直接向人民法院提起诉讼，要求事业单位履行合同义务或承担违约责任。
四、特殊情况下的处理
如果事业单位的付款义务涉及到国家财政资金的使用，且该事业单位存在违反财政法规、规章等情形导致无法付款的，你还可以考虑向相关的财政部门、审计部门等投诉举报，要求这些部门对事业单位的违法行为进行查处，并督促其履行付款义务。但这种情况下的处理方式相对复杂，且需要充分的证据支持。
建议：在与事业单位签订合同时，务必明确约定付款义务、违约责任等关键条款，并保留好合同文本、履行凭证等相关证据。一旦发生纠纷，及时咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护自己的合法权益。