核心结论：劳务公司开不出发票，仍有办法让甲方付钱，但需根据具体情况采取不同策略，且要注意合法合规性。以下分情况说明：
合同中有明确约定付款条件不与发票开具直接挂钩
如果劳务合同中明确约定了付款条件，比如按工程进度、完成工作量等节点付款，且未将“开具发票”作为付款的前提条件，那么劳务公司有权要求甲方按照合同约定付款。此时，劳务公司可以依据合同条款，通过协商、发函催告甚至诉讼等方式主张权利。若甲方以未开发票为由拒付，可能构成违约，劳务公司可要求其承担违约责任。
合同中约定“先票后款”或“票款同时履行”
若合同明确约定“劳务公司需先开具发票，甲方才付款”或“票款同时履行”，则劳务公司需先履行开票义务，甲方才有付款义务。此时，若劳务公司无法开具发票，可能构成违约，甲方有权拒付或要求劳务公司承担违约责任。但若劳务公司因客观原因（如税务系统故障、政策调整等）暂时无法开票，可与甲方协商延期开票或提供其他替代性证明（如完税凭证、税务机关出具的证明等），争取甲方理解并付款。若甲方仍拒付，劳务公司需证明自身已履行主要合同义务（如完成劳务工作），且未开票非自身主观故意，方可主张付款。
劳务公司因自身原因无法开具发票（如未办理税务登记、偷逃税等）
若劳务公司因未依法办理税务登记、偷逃税等违法行为导致无法开具发票，则其主张付款的权利可能受到限制。此时，甲方有权以“劳务公司未履行合同附随义务（开票义务）”为由拒付或要求劳务公司承担违约责任。劳务公司需先补办税务登记、补缴税款并接受税务机关处罚后，方可与甲方协商付款事宜。若甲方因此遭受损失（如无法抵扣进项税），劳务公司还需赔偿甲方损失。
甲方以未开发票为由恶意拒付
若甲方明知劳务公司已履行主要合同义务（如完成劳务工作），却以未开发票为由恶意拒付，劳务公司可收集证据（如工作成果验收单、沟通记录等）证明自身已履约，并通过法律途径主张付款。此时，甲方拒付行为可能构成违约或不当得利，劳务公司可要求其支付劳务费及逾期付款利息。
建议：劳务公司应尽量规范税务管理，确保能依法开具发票；若因客观原因无法开票，应及时与甲方沟通并提供替代性证明；若甲方恶意拒付，可咨询专业律师，通过法律途径维护权益。