结论：在去世老人无儿女且一直由一个外甥照顾的情况下，另一个外甥想要增加遗产份额，法院是否支持需视具体情况而定，主要依据《中华人民共和国民法典》中关于继承和遗赠扶养协议的相关规定。

分析如下：

1. 法定继承情况：

   • 根据《民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在老人无子女的情况下，若其父母也已去世，且没有配偶，则兄弟姐妹成为第一顺序继承人。若兄弟姐妹也已去世或放弃继承，则可能由兄弟姐妹的子女（即老人的侄子女、外甥子女）代位继承，但代位继承通常限于直系晚辈血亲，且外甥并非直系晚辈血亲，在一般情况下并不直接享有代位继承权，除非符合特定地区的特别规定或老人有特别遗嘱。
   • 若老人没有留下遗嘱，且不存在遗赠扶养协议，那么遗产将按照法定继承顺序分配。在此情况下，若仅从法定继承角度考虑，且没有其他特殊情形，一直照顾老人的外甥并不因照顾行为而自动获得更多遗产份额，另一个外甥也无权直接要求增加遗产份额，除非能证明自己对老人有更多的扶养贡献或符合其他法定增加份额的情形。

2. 遗嘱继承情况：

   • 如果老人在生前立有遗嘱，明确指定了遗产的分配方式，那么法院将尊重遗嘱人的意愿，按照遗嘱进行遗产分配。若遗嘱中明确指定了照顾自己的外甥为继承人或给予其更多份额，而另一个外甥未被指定或指定份额较少，则法院将支持遗嘱中的分配方式。

3. 遗赠扶养协议情况：

   • 根据《民法典》第一千一百五十八条，自然人可以与继承人以外的组织或者个人签订遗赠扶养协议。按照协议，该组织或者个人承担该自然人生养死葬的义务，享有受遗赠的权利。若一直照顾老人的外甥与老人签订了遗赠扶养协议，并履行了协议中的义务，则其有权按照协议获得遗产，此时另一个外甥要求增加遗产份额的请求通常不会被法院支持。

建议：

• 对于一直照顾老人的外甥，若希望确保自己的权益，可以考虑与老人签订遗赠扶养协议，明确双方的权利和义务。
• 对于另一个外甥，若认为自己对老人也有扶养贡献或存在其他特殊情况，可以收集相关证据，并在遗产分配时向法院提出主张。
• 在任何情况下，都建议各方保持沟通，尽量通过协商解决遗产分配问题，以避免不必要的法律纠纷。

如有更多具体细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。