工会经审主任调动后，其职务的处理需依据工会章程及相关规定进行，核心在于确保工会审计工作的连续性和合规性，具体处理方式需分情况讨论：

1. 若调动至工会系统内其他岗位
   根据《中国工会章程》及《工会审计条例》，工会经审主任作为工会委员会的专职或兼职成员，其职务调整需经工会委员会或上级工会批准。若调动后仍保留工会委员身份（如转任工会副主席、财务负责人等），需明确其是否继续兼任经审主任职务。若继续兼任，需确保其审计独立性不受影响；若不再兼任，需通过工会委员会会议重新选举或任命新的经审主任，并报上级工会备案。
   法律依据：《工会法》第十七条明确工会委员会成员调整需经民主程序；《工会审计条例》第十一条规定经审主任需由工会委员会选举产生。

2. 若调动至工会系统外岗位
   若经审主任因工作需要调离工会系统（如转至企业行政岗位或政府部门），其经审主任职务自动终止。此时需立即启动补选程序：

   • 补选流程：由工会委员会提出候选人名单，经会员大会或会员代表大会民主选举产生新任经审主任；
     
   • 审计工作衔接：原经审主任需在离任前完成审计档案移交，包括审计报告、工作底稿、整改台账等，确保审计连续性；
     
   • 上级备案：补选结果需在15日内报上级工会审批或备案，确保程序合规。
     风险提示：若未及时补选导致审计工作停滞，可能引发上级工会问责或影响工会年度考核。

3. 特殊情形处理

   • 代行职责：在补选完成前，可由工会副主席或指定委员代行经审主任职责，但代行期限不得超过3个月；
     
   • 跨层级调动：若涉及上级工会委派的经审主任（如产业工会或联合工会），需原委派单位出具书面意见，明确是否继续委派或同意调整；
     
   • 纪律审查：若调动系因违纪违法，需同步启动审计问责程序，查清其任期内审计责任，避免“带病离任”。

建议行动步骤：

1. 查阅本级工会章程及上级工会关于经审主任任免的具体规定；
   
2. 召开工会委员会会议，讨论调动影响及补选方案；
   
3. 向上级工会提交书面报告，说明调动原因及后续安排；
   
4. 完成审计资料移交，确保工作无缝衔接。
   

如有具体操作疑问或需进一步分析调动背景（如是否涉及工会合并、撤销等情形），可向我补充细节，我将结合《基层工会经费审查委员会工作条例》等细化解答。