劳务派遣员工上班期间死亡，其赔偿责任需根据具体情况，由劳务派遣单位、用工单位以及可能的第三人根据各自过错程度及法律规定来承担。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为劳动关系中的用人单位，有义务为派遣员工缴纳工伤保险。若员工被认定为工伤死亡，且已依法缴纳工伤保险，则主要由工伤保险基金承担支付丧葬补助金、一次性工亡补助金等工亡待遇。
- 丧葬补助金：一般为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。例如，若上一年度全国城镇居民人均可支配收入为5万元，则一次性工亡补助金为100万元。
- 若未缴纳工伤保险，劳务派遣单位需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付相应费用。
非因工死亡情形：
- 若劳务派遣人员非因工死亡，劳务派遣单位也需按照国家规定给予丧葬补助费、抚恤金等非因工死亡待遇。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 用工单位虽不是用人单位，但若员工的死亡是由于其过错导致，如提供的工作环境存在严重安全隐患、未进行必要的安全培训等，则需承担相应的侵权赔偿责任或与劳务派遣单位共同承担的工伤赔偿责任。
连带赔偿责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。这意味着，在劳务派遣人员因工死亡的情况下，如果用工单位存在过错，用工单位和劳务派遣单位可能需要共同承担赔偿责任。
三、第三人的责任
- 如果劳务派遣人员的死亡是由于第三人的侵权行为造成的，那么第三人应承担侵权责任。劳务派遣人员或其近亲属可以向第三人主张民事赔偿，要求赔偿医疗费、护理费、交通费、丧葬费、死亡赔偿金等费用。
- 在这种情况下，工伤保险待遇与民事赔偿并不冲突，劳务派遣人员或其近亲属可以同时获得工伤保险待遇和民事赔偿。但需注意，医疗费用等实际发生的费用不能重复获赔。
四、双方约定责任
- 劳务派遣单位和用工单位通常会在劳务派遣协议中对员工工伤、伤亡等情况的责任分担进行约定。这种约定在不违反法律法规强制性规定的情况下，对双方具有约束力，但不能对抗劳动者或其家属的法定权利主张。
- 即使协议中有关于责任分担的约定，劳动者或其家属仍有权向任何一方或双方主张权利。劳务派遣单位在依法承担责任后，可依据协议向用工单位进行追偿。
五、实际操作建议
- 申请工伤认定：在发生劳务派遣人员工作期间死亡的事件时，家属应首先申请工伤认定，以确定责任主体和赔偿范围。
- 保留证据材料：保留好相关证据材料，如劳动合同、医疗记录、死亡证明、事故现场的监控录像、证人证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
- 寻求法律帮助：如有需要，可以直接向我咨询，以便更准确地理解法律规定，明确责任划分，并有效地维护自身权益。
综上所述，劳务派遣员工上班期间死亡的责任承担涉及多个方面，包括劳务派遣单位的工伤保险责任、用工单位的过错责任以及可能的第三人责任和双方约定责任。在实际操作中，应综合考虑各种因素，确保责任得到合理划分和承担。