单位应立即采取救助措施，并根据事故原因及责任划分承担相应责任。具体处理方式需结合以下情况分析：

1. 单位责任认定
   根据《民法典》第1192条及《工伤保险条例》规定，若摔倒事故符合以下情形，单位需承担责任：
   

• 工作场所内因工作原因摔倒：洗碗工在厨房、洗碗间等工作区域因地面湿滑、设备故障等与工作直接相关的因素摔倒，单位需承担工伤保险责任，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助等。
  
• 单位未尽安全保障义务：若单位未提供防滑鞋、未及时清理积水、未设置警示标识等，导致摔倒事故，单位需承担民事侵权责任，赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费等。
  
• 第三方因素导致：若因第三方（如设备供应商提供的洗碗机存在缺陷）导致摔倒，单位在承担责任后可向第三方追偿。

1. 员工自身责任认定
   若摔倒事故因员工自身原因导致，单位责任可能减轻或免除：
   

• 故意或重大过失：如员工违反操作规程（如未穿防滑鞋、在非工作区域奔跑等），单位可根据《民法典》第1173条主张按过错比例分担责任。
  
• 非工作原因摔倒：如员工在工作期间擅自离岗、从事与工作无关的活动（如玩手机）导致摔倒，单位可能无需承担责任。

1. 处理流程建议
   

• 立即救助：单位应第一时间将员工送医，并保留医疗记录、现场照片等证据。
  
• 事故调查：通过监控录像、证人证言等查明事故原因，明确责任划分。
  
• 工伤认定：若符合工伤条件，单位应在30日内向社保部门申请工伤认定，员工也可在1年内自行申请。
  
• 协商或诉讼：根据责任认定结果，单位可与员工协商赔偿方案；若协商不成，员工可通过劳动仲裁或民事诉讼主张权利。

提示：单位应定期检查工作场所安全设施，为员工提供必要劳动保护用品，并购买雇主责任险或工伤保险以分散风险。若对责任认定或赔偿方案有疑问，可直接向我咨询具体法律问题。