在劳动争议案件一审中，当事人确实可以提出新证据，但必须符合法定条件和程序要求。以下是对这一问题的详细解答：
一、明确结论
劳动争议案件一审过程中，允许当事人提交新证据，这是法律赋予的权利。然而，新证据的提交并非无限制，而是需要遵循严格的法律规定和程序，以确保诉讼的公平与效率。
二、法律依据与解释
根据《民事诉讼法》及相关司法解释，当事人在一审中可以提出新的证据，这些“新的证据”主要包括以下两种情况：
一审举证期限届满后新发现的证据：
- 例如，劳动者在举证期限后偶然找到的加班工作排班表，或用人单位新发现的内部通报文件等。这些证据在举证期限届满前并未被当事人发现，但能够对案件事实产生重大影响。
因客观原因无法在举证期限内提供，并经法院准许延期的证据：
- 如相关证据被第三方保管，当事人在举证期限内无法及时获取。经向法院说明情况并获准延长举证期限后，仍未能按时提供的证据，但在一审庭审时取得。这种情况下，当事人可以提交新证据，但需向法院说明逾期提交的原因。
三、程序要求与注意事项
提交时机：
- 新证据应当在法庭辩论终结前向法庭提交。逾期提交可能会导致法院不予采纳，或者受到训诫、罚款等处罚。因此，当事人应尽可能在举证期限内提交所有相关证据，以避免不必要的麻烦。
合理解释：
- 对于逾期提交的证据，当事人必须向法院作出合理说明，阐述新发现证据的过程或之前无法提供的客观障碍。这有助于法院理解当事人逾期提交证据的原因，并作出公正的裁决。
证据的相关性与证明力：
- 提交的新证据必须与案件基本事实有关，且能够证明当事人的主张。无关或证明力弱的证据可能不会被法院采纳。因此，当事人在提交新证据前，应仔细评估其相关性和证明力。
可能的庭审调整：
- 如果新证据特别多或特别重要，法院可能会决定再次开庭，以便更全面地审查这些证据。这有助于确保案件的公正审理和当事人的合法权益得到维护。
四、实际操作建议
尽早提交证据：
- 为避免不必要的麻烦和延误，当事人应尽可能在举证期限内提交所有相关证据。这有助于加快诉讼进程，提高诉讼效率。
保持沟通：
- 与法院保持良好的沟通，及时了解法院对新证据的态度和要求。这有助于当事人更好地准备和提交新证据，以维护自己的合法权益。
准备充分：
- 在提交新证据前，应确保其真实性、合法性和关联性，并准备好相应的说明材料。这有助于增强新证据的证明力，提高法院采纳的可能性。
综上所述，劳动争议案件一审中可以提交新证据，但当事人必须严格遵守法律规定的条件和程序要求。如果你在劳动争议案件中遇到相关问题，或者需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。