针对您提出的“公司派遣员工离职后外出差旅费补贴不支付怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、明确权益基础
首先，您需要明确自己作为劳动者的基本权益。根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，劳动者因工作产生的合理费用，包括出差补助和差旅费报销，原则上应由公司承担。即使您在出差期间或离职后提出报销申请，只要这些费用是在您履行工作职责时产生的，公司就有义务进行支付。
二、与公司进行友好沟通
内部沟通：
- 您可以尝试与原公司进行友好沟通，以正式的邮件或书面形式向直接上级领导、财务部门或负责差旅费报销的相关人员说明情况。
- 附上出差的相关凭证，如机票、车票、住宿发票、出差审批单等，清晰阐述差旅费的明细及应报销金额。
- 要求公司尽快处理报销事宜，并保留好沟通过程中的聊天记录或书面材料作为证据。
发送催款函：
- 若口头沟通无果，您可以发送正式催款函，明确指出公司拖欠差旅费的事实、金额、报销依据。
- 限定合理的还款期限，并声明逾期将采取进一步法律措施。
三、收集并保留证据
在整个维权过程中，证据的收集和保留至关重要。您需要妥善保存以下证据：
- 出差申请、审批记录、行程安排、工作汇报等文件，以证明您出差的事实和工作内容。
- 往返机票、住宿发票、餐饮发票等与出差费用相关的凭证，这些是您要求报销的直接依据。
- 与公司相关人员沟通的聊天记录、邮件、通话录音等，这些记录可以证明您曾经向公司提出过报销申请以及公司的回应。
四、寻求外部帮助
向劳动监察部门投诉：
- 如果公司内部无法解决问题，您可以向当地的劳动监察部门投诉。
- 提交您收集到的证据，请求劳动监察部门介入调查并责令公司改正违法行为。
申请劳动仲裁：
- 如果对劳动监察部门的处理结果不满意，或者公司仍然拒绝报销，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在申请时，需要提交仲裁申请书、身份证明、证据材料等。仲裁委员会将根据双方提供的证据和陈述进行审理，并作出裁决。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁结果不服，还可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼过程可能会比较复杂和漫长，但法院作出的判决具有强制执行力，可以确保您的权益得到实现。
五、注意事项
在整个维权过程中，请务必保持冷静和理性。遵循合法合规的程序进行操作，不要采取过激行为或言辞攻击。同时，注意保护自己的个人信息和隐私安全，避免泄露不必要的个人信息给无关人员。
综上所述，面对公司派遣员工离职后外出差旅费补贴不支付的情况，您应首先尝试通过沟通协商解决；若协商无果，则依次考虑向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁和提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好所有相关证据是确保成功维权的关键。