结论前置：工伤和公司私了后，在一定条件下可以恢复工伤认定及相关待遇，赔偿方面需根据具体情况来确定。以下分情况详细说明：
私了协议存在法定无效情形时可恢复工伤认定及待遇
- 法定无效情形：如果私了协议存在欺诈、胁迫、乘人之危等情形，或者协议内容显失公平，例如公司利用劳动者急需用钱、对法律不了解等情况，迫使劳动者接受远低于法定标准的赔偿金额，那么该私了协议是无效的。
- 恢复流程：劳动者可以在知道或者应当知道权利被侵害之日起一年内，向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。在认定为工伤后，劳动者可以享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果公司未依法为劳动者缴纳工伤保险费，那么这些待遇将由公司承担。
- 举例说明：小李在工作中受伤，公司以不支付医疗费相威胁，迫使小李签订了一份只赔偿少量费用的私了协议。后来小李了解到自己的权益受到侵害，在一年内向社会保险行政部门申请了工伤认定，经认定属于工伤后，小李要求公司按照法定标准进行赔偿，公司不得拒绝。
私了协议合法有效但赔偿不足时可补充赔偿
- 协议有效性：如果私了协议是双方真实意思表示，不存在法定无效情形，且协议内容不违反法律、行政法规的强制性规定，那么该协议是合法有效的。
- 补充赔偿情况：但是，如果协议中约定的赔偿金额明显低于法定工伤保险待遇标准，劳动者可以在协议签订后的一定期限内，要求公司补充赔偿差额部分。不过，这个期限并没有明确的法律规定，一般建议在发现赔偿不足后尽快与公司协商解决，如果协商不成，可以通过劳动仲裁等法律途径维护自己的权益。
- 举例说明：小张在工作中受伤后与公司签订了私了协议，公司按照协议支付了一定的赔偿费用。但后来小张了解到自己按照法定标准应该获得更多的赔偿，于是他与公司协商要求补充赔偿差额部分。如果公司拒绝，小张可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
私了协议合法有效且赔偿合理时一般不能恢复工伤相关权益
- 合理赔偿认定：如果私了协议是双方自愿签订的，且赔偿金额合理，符合或者接近法定工伤保险待遇标准，那么在这种情况下，劳动者一般不能再要求恢复工伤认定及相关待遇。
- 例外情况：但是，如果劳动者在签订协议后发现存在新的伤情或者伤情加重，且这些情况在签订协议时并未预见，那么劳动者可以重新申请工伤认定，并根据新的认定结果要求公司承担相应的赔偿责任。
- 举例说明：小王在工作中受伤后与公司签订了私了协议，公司按照协议支付了赔偿费用。一段时间后，小王发现自己的伤情比原来预计的要严重，需要更多的治疗费用。在这种情况下，小王可以重新申请工伤认定，并根据新的认定结果要求公司承担额外的赔偿责任。