私立学校教师被解聘时的赔偿标准，主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合解聘的合法性、教师在校的工作年限以及月工资水平来综合确定。以下是对这一问题的详细解答：
一、合法解聘的赔偿情况
无需支付经济补偿的情形：
- 若教师存在严重违反学校规章制度（如多次无故旷工、严重违反师德规范等，且规章制度已合法制定并公示）、严重失职或营私舞弊给学校造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，学校有权合法解聘教师，且无需支付经济补偿。
需要支付经济补偿的情形：
- 双方协商一致解除合同：学校与教师达成一致意见后解除聘用合同，学校应按教师在校工作年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿。六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
- 因特定情形解除合同：如教师患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或学校另行安排的工作；或教师不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任。此时，学校应提前三十日以书面形式通知教师或额外支付一个月工资后解除合同，并按上述标准支付经济补偿。
二、违法解聘的赔偿情况
若学校解聘教师的行为不符合法律规定或聘用合同约定，属于违法解除合同。在此情况下，教师有权要求学校继续履行聘用合同。若教师不要求继续履行合同或合同已无法继续履行，学校应依照经济补偿标准的二倍向教师支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：每满一年支付两个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，支付两个月工资；不满六个月的支付一个月工资。这里所提到的工资均指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、赔偿金额的限制
- 若教师的月平均工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿（或赔偿金）的标准按职工月平均工资三倍的数额支付。
- 经济补偿（或赔偿金）的年限最高不超过十二年。
四、赔偿的协商与争议解决途径
- 协商：教师应首先与学校进行协商，尝试达成赔偿协议。
- 投诉与仲裁：若协商不成，教师可向当地劳动行政部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 诉讼：对仲裁裁决不服的教师，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
五、注意事项
- 教师应明确了解解聘的原因，这直接关系到是否能获得经济补偿。
- 保留好相关的劳动合同、工资单、工作记录等证据，以便在申请经济补偿或维权时提供有力证明。
综上所述，私立学校教师被解聘时的赔偿标准需根据解聘的合法性、教师在校工作年限、月工资情况以及具体法律法规来综合考虑。教师应充分了解自己的权益和法律规定，以便在面临此类问题时能够做出正确的应对，并通过合法的途径来维护自己的权益。