结论：交通事故私了后半年病人死亡，是否可以起诉对方，需根据具体情况判断，主要取决于死亡原因与交通事故的关联性、私了协议的内容以及诉讼时效等因素。以下从不同角度进行分析：
一、死亡原因与交通事故的关联性
死亡与交通事故直接相关：
- 如果病人的死亡是由于交通事故直接导致的，例如因交通事故造成的重伤未得到及时治疗或治疗不当而死亡，那么即使已经私了，家属仍然有权起诉对方，要求对方承担相应的法律责任。
- 在此情况下，私了协议可能仅涉及部分赔偿项目或金额，而死亡带来的损失（如死亡赔偿金、丧葬费等）可能未包含在内。家属可以就这部分损失提起诉讼。
死亡与交通事故间接相关或无关：
- 如果病人的死亡是由于其他原因导致的，如疾病、自杀等，与交通事故无直接关联，那么家属起诉对方要求赔偿的难度会较大。
- 除非能够证明交通事故是导致死亡的一个间接因素（如交通事故导致病人长期卧床，进而引发其他疾病导致死亡），但这种情况下的因果关系证明难度较大。
二、私了协议的内容
协议内容全面且已履行：
- 如果私了协议内容全面，涵盖了所有可能的赔偿项目，并且双方已经按照协议履行完毕，那么家属再次起诉对方要求赔偿的难度会较大。
- 除非能够证明协议存在欺诈、胁迫等情形，导致协议无效或可撤销。
协议内容不全面或未履行：
- 如果私了协议内容不全面，未涵盖所有可能的赔偿项目，或者双方未按照协议履行，那么家属可以就未涵盖的部分或未履行的部分提起诉讼。
三、诉讼时效
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
- 在交通事故私了后半年病人死亡的情况下，如果家属认为死亡与交通事故有关，且私了协议未涵盖相关赔偿项目或未履行，那么家属应在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼。
四、法律建议
收集证据：
- 家属应收集与交通事故、病人死亡相关的所有证据，包括医疗记录、死亡证明、私了协议等。
- 这些证据将有助于证明死亡与交通事故的关联性、私了协议的内容以及诉讼时效的起算点。
咨询专业律师：
- 由于交通事故赔偿案件涉及复杂的法律问题和证据收集，建议家属咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。
- 我作为专业律师，可以为你提供全面的法律分析和诉讼策略。
考虑和解或调解：
- 在提起诉讼前，家属可以考虑与对方进行和解或调解，以达成双方都能接受的赔偿方案。
- 这有助于节省诉讼成本和时间，同时避免不必要的法律纠纷。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。