结论前置：当生效仲裁裁决书一方不履行时，另一方确实可以向法院申请强制执行，这是有明确法律依据的。
一、法律依据
《中华人民共和国仲裁法》第六十二条：
- 当事人应当履行裁决。一方当事人不履行的，另一方当事人可以依照民事诉讼法的有关规定向人民法院申请执行。受申请的人民法院应当执行。
《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定：
- 具体条款如第二百三十七条（虽直接引用的是旧法条序号，但新法中对应条款精神一致，即关于执行的规定）等，明确了人民法院对仲裁裁决的执行义务，以及申请执行的期限、程序等。虽然新法中具体条文序号可能有所变动，但核心精神未变，即支持仲裁裁决的强制执行。
二、申请强制执行的条件与流程
条件：
- 仲裁裁决已生效，即已经过了仲裁裁决书规定的履行期，而对方当事人未履行相关义务。
- 提交必要材料，包括书面的申请执行书、仲裁裁决书的原件（或经认证的副本）等。
- 遵守申请执行期限，通常为二年（具体根据《民事诉讼法》的最新规定），自法律文书规定履行期间的最后一日起计算。
流程：
- 审查立案：人民法院接到申请执行书及有关法律文书后，会进行合法性、适当性审查。
- 通知履行：在决定对义务人强制执行前，人民法院会先行通知义务人在规定期限内自动履行法定义务。
- 准备强制执行：制定强制执行的计划和方案，如需协助执行的，会书面通知有义务协助的单位和个人。
- 实行强制执行：执行过程中，执行人员将表明身份、出示执法证件和执行依据，并采取相应的执行措施，如查询、冻结、划拨存款，扣留、提取收入，查封、扣押、冻结、拍卖、变卖财产等。
三、特殊情况处理
涉外仲裁裁决的强制执行：
- 若涉外仲裁委员会作出的仲裁裁决需要执行，且被执行人或其财产不在中国境内，当事人应直接向有管辖权的外国法院申请承认和执行。若在国内执行，则同样向被执行人住所地或被执行的财产所在地的中级人民法院申请执行。
仲裁裁决的撤销或不予执行：
- 若被申请人提出证据证明仲裁裁决存在法定可撤销情形（如无仲裁协议、仲裁事项超出协议范围、仲裁庭组成或程序违法等），法院可能会裁定撤销或不予执行该仲裁裁决。但一旦仲裁裁决被撤销，就无法再依据该裁决申请强制执行。不过，这种情况并不常见，且需要严格的证据和程序支持。
四、法律后果与建议
法律后果：
- 若被执行人在规定期限内未履行仲裁裁决，人民法院将采取强制执行措施，包括但不限于上述提到的各种执行手段。
- 被执行人有能力执行而拒不执行的，可能被列入失信被执行人名单，受到商业活动、出行、贷款等方面的限制。情节严重者，还可能触犯拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。
建议：
- 当一方不履行仲裁裁决时，另一方应及时向有管辖权的人民法院申请执行，以维护自己的合法权益。
- 在申请执行过程中，应遵循法定的程序和要求，确保执行申请的有效性和合法性。
- 如遇复杂情况或不确定如何操作时，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律指导。
综上所述，生效仲裁裁决书一方不履行时，另一方完全有权向法院申请强制执行，并应遵循相应的法律程序和要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。