面对私人工厂未与您签订劳动合同的情况，您可以采取以下一系列措施来维护自己的合法权益。以下是一个详细且有条理的解答：

一、明确并证明劳动关系

首先，您需要收集并保留所有能证明您与工厂之间存在劳动关系的证据。这些证据是后续维权的基础，包括但不限于：

• 工资支付凭证：如银行转账记录、工资条等，这些能显示工厂名称、工资数额及发放时间。
• 工作证件：如工作证、服务证，上面应包含您的照片、姓名及工厂信息。
• 考勤记录：无论是纸质还是电子考勤表，都能证明您的出勤情况。
• 同事证言：同事的书面或口头证言，如果可能的话，最好能出庭作证。
• 工作相关文件：如业务邮件、客户订单等，这些文件上含有您的名字和工厂信息，也能作为证明。

二、与工厂协商解决

在收集了足够证据后，您可以尝试与工厂负责人或人力资源部门进行沟通。明确指出不签订劳动合同违反了《劳动合同法》，并要求工厂在合理期限内补签书面劳动合同。在协商过程中，务必保持冷静和理智，同时保留好谈话记录、邮件、短信等沟通证据。

三、向劳动行政部门投诉

如果协商无果，您可以向当地劳动行政部门（如劳动监察大队）投诉。投诉时，您需要详细说明自己的工作情况、入职时间、工作岗位、工资待遇等，以及工厂未签订劳动合同的事实，并提交之前收集的相关证据材料。劳动行政部门将对公司进行调查核实，若情况属实，会责令工厂限期改正，并可能对公司处以罚款等行政处罚。

四、申请劳动仲裁

若劳动行政部门的处理未能满足您的诉求，您可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁时，您需要提交仲裁申请书，详细说明仲裁请求、事实和理由，并准备相关仲裁材料，如身份证明、劳动关系证据等。仲裁委员会将根据双方提供的证据和相关法律规定进行裁决。如果仲裁庭支持您的请求，工厂需支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额等赔偿。

五、法律诉讼

如果劳动仲裁未能解决问题，或者您对仲裁结果不满，您可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。法院将按照民事诉讼程序进行审理，并最终作出判决。在诉讼过程中，您需要向法院提交起诉状、证据材料等相关文件，并按照法院的要求参加庭审等诉讼活动。

六、寻求专业法律帮助

在整个维权过程中，我建议您咨询专业的律师或法律援助机构。他们可以提供具体的法律建议，帮助您更好地了解自己的权益和可行的解决方案。同时，他们也能协助您准备相关法律文件，提高维权的效率和成功率。

总结与建议：面对私人工厂未签订劳动合同的情况，您应首先收集证据证明劳动关系，然后尝试与工厂协商解决。如果协商无果，可以依次向劳动行政部门投诉、申请劳动仲裁，直至向法院提起诉讼。在整个过程中，保持冷静和理智至关重要，同时寻求专业法律帮助将大大增加您维权成功的可能性。希望这些建议能对您有所帮助。