结论：在试用期内，如果员工因打架等严重违反公司规章制度或劳动纪律的行为，公司是有权辞退员工的，且通常不需要支付经济补偿。但具体是否会被辞退，还需根据公司的规章制度、打架行为的严重性以及公司的处理态度等因素综合判断。
分析说明：
试用期内的劳动关系特点：
- 试用期是用人单位与劳动者相互了解、选择的过程，双方均有权在试用期内解除劳动合同，但需符合法定条件。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同。这里的“不符合录用条件”不仅指工作能力、技能等方面，也包括遵守公司规章制度、劳动纪律等。
打架行为的性质：
- 打架行为通常被视为严重违反公司规章制度或劳动纪律的行为，尤其是当打架行为发生在工作场所或工作时间时。
- 打架行为不仅可能对公司造成财产损失，还可能影响公司的正常运营秩序，甚至损害公司的声誉。
公司辞退的法律依据：
- 根据《劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
- 如果公司的规章制度中明确规定了打架行为属于严重违纪行为，并规定了相应的处理措施（如辞退），那么公司在员工打架时辞退员工是合法的。
不同情况下的处理：
- 轻微打架行为：如果打架行为情节轻微，未造成严重后果，且员工认错态度良好，公司可能会选择给予警告、罚款等较轻的处罚，而不是直接辞退。
- 严重打架行为：如果打架行为情节严重，造成公司财产损失或人员伤害，或者员工拒不认错、态度恶劣，公司很可能会选择辞退员工。
- 公司规章制度不明确：如果公司的规章制度中未明确规定打架行为属于严重违纪行为，或者规定不够明确，公司在辞退员工时可能会面临一定的法律风险。此时，公司需要谨慎处理，最好先与员工协商解决，或者通过其他合法途径（如劳动仲裁）来处理。
后续行动建议：
- 对于员工：在试用期内应严格遵守公司的规章制度和劳动纪律，避免发生打架等违纪行为。如果因打架行为被公司辞退，且认为公司的处理不当，可以通过劳动仲裁等途径来维护自己的合法权益。
- 对于公司：在制定规章制度时应明确规定打架等违纪行为的处理措施，并在员工入职时进行告知和培训。在处理打架行为时，应依法依规进行，确保处理结果的合法性和合理性。
特殊场景提醒：
- 如果打架行为发生在非工作时间或非工作场所，但对公司造成了不良影响（如损害公司声誉），公司也可能根据规章制度对员工进行处理，但处理方式可能相对灵活。
- 如果打架行为涉及违法犯罪（如故意伤害、寻衅滋事等），公司应立即报警并配合警方处理，同时根据公司的规章制度对员工进行相应处理。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。