针对您提出的“未签订劳动合同的用人单位应该如何辞退员工”的问题，这是一个涉及劳动法律法规的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
一、辞退的合法性基础与前提
首先，必须明确的是，即便未与员工签订书面劳动合同，用人单位与员工之间仍可能存在事实劳动关系。因此，辞退员工必须遵循相关法律法规，确保操作的合法性。
二、根据入职时间的不同情况处理
入职未满一个月：
- 在此情况下，用人单位可随时辞退员工，但必须结清员工应得的工资。由于未超过法律规定的签订劳动合同期限，因此不涉及双倍工资赔偿等问题。
入职超过一个月不满一年：
- 若未签订劳动合同，用人单位首先需支付员工自入职满一个月起至辞退前的双倍工资赔偿。
- 之后，根据员工是否存在过错（如严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等），用人单位可进行辞退，并依法支付经济补偿金（如适用）。若员工无过错，则需按照非过错性辞退的规定处理，如提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
入职超过一年：
- 此时，视为用人单位与员工已订立无固定期限劳动合同。
- 辞退时，用人单位仍需支付双倍工资赔偿（但最多不超过11个月），并依法支付法定经济补偿金或赔偿金，具体取决于辞退的理由和程序。
三、辞退理由与程序
辞退理由：
- 过错性辞退：员工存在严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等情形时，用人单位可依据明确且公示的规章制度及证据进行辞退。
- 非过错性辞退：如员工患病、不能胜任工作、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等，用人单位需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资，并提供相应证据。
辞退程序：
- 无论何种情况，辞退员工均应以书面形式明确告知辞退原因、生效日期等关键信息。
- 确保通知有效送达，可通过直接送达、邮寄送达等方式，并保留好相关凭证。
四、后续事宜处理与劳动者权益保障
工资与经济补偿：
- 工资需按实际工作天数和约定标准结算至辞退生效日。
- 根据辞退情形，依法支付经济补偿金或赔偿金。
离职手续：
- 协助员工办理离职证明、档案和社会保险关系转移等手续。
劳动者权益与维权途径：
- 劳动者有权了解自身合法权益，包括但不限于工资、经济补偿、社会保险等。
- 若与用人单位协商不成，劳动者可向当地劳动仲裁委员会提出申请，解决劳资纠纷。对仲裁结果不服时，还可向法院提起诉讼。
- 劳动者在维权过程中应注意收集证据，保存能证明劳动关系及权益受损的证据。同时，注意申请劳动仲裁的时效为一年。
五、用人单位的应对建议
- 积极与劳动者协商：了解劳动者的诉求，对于合理的部分尽量通过协商解决，以避免矛盾升级。
- 收集证据：若认为辞退员工有合法理由，应提前收集相关证据，以备在劳动仲裁或诉讼中使用。
- 遵循法律程序：在支付双倍工资、经济补偿或赔偿金时，必须严格按照法律规定的标准和程序操作。
综上所述，未签订劳动合同的用人单位在辞退员工时，必须严格遵循相关法律法规，确保操作的合法性和规范性。同时，劳动者也应了解自己的权益和维权途径，确保自身合法权益不受侵害。通过双方的共同努力，可以构建更加和谐稳定的劳动关系。