针对您提出的“未签劳动合同辞退员工时应该怎么赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，必须向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一规定是为了保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的明确与稳定。

一、未签订劳动合同的赔偿责任

1. 赔偿计算：

   • 二倍工资的起算时间为用工之日起满一个月的次日。
   • 截止时间为补订书面劳动合同的前一日，或者若满一年仍未签订，则截止至满一年的前一日，此时二倍工资的计算时间最长为11个月。

2. 实例说明：

   • 假设员工A于2023年1月1日入职某公司，公司一直未与其签订书面劳动合同。若公司在2023年12月1日仍未与A签订合同，则A有权要求公司支付2023年2月1日至2023年11月30日期间的二倍工资差额。

二、违法辞退的赔偿责任

若公司无故辞退员工，且该员工无过错，则构成违法解除劳动合同。在此情况下，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

1. 经济补偿标准：

   • 按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。
   • 工作时间六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 赔偿金计算：

   • 由于是违法辞退，所以赔偿金为经济补偿标准的二倍。

3. 实例说明：

   • 继续以员工A为例，若公司在2023年8月1日无故将A辞退，且A无过错，则A在该单位工作了7个月。根据经济补偿标准，公司应支付1个月工资作为经济补偿；又因为是违法辞退，所以需支付2倍，即2个月工资作为赔偿金。

三、合法辞退的情况

尽管未签订劳动合同，但若公司能证明员工存在严重违反规章制度等情形（符合《劳动合同法》第三十九条的规定），则公司可以合法解除劳动关系而无需支付赔偿金。然而，即使合法辞退，也不能免除因未签订书面劳动合同而应承担的二倍工资赔偿责任（如符合支付条件）。

四、维权途径与建议

面对权益受损，员工可以采取以下维权途径：

1. 协商：首先尝试与公司进行沟通协商，要求依法支付赔偿。
2. 投诉：可向当地劳动监察部门投诉，由其对用人单位进行调查处理。
3. 仲裁：若协商无果，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付未签合同的二倍工资、赔偿金或经济补偿等。
4. 诉讼：对仲裁结果不满意时，员工有权向人民法院提起诉讼。

总结与建议：

公司辞退未签劳动合同的员工时，赔偿责任的判定需依据具体情况而定。未签合同本身可能导致二倍工资的赔偿，而违法解除则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。因此，我建议您在面临此类情况时，及时咨询专业律师或法律机构，以获取针对性的法律援助和准确的赔偿计算。同时，保留好相关证据材料，如工作证、工资条、考勤记录等，以便在维权过程中提供有力支持。