当公安机关对犯罪嫌疑人刑事拘留后，发现其还涉嫌其他机关管辖的新罪时，处置方式需根据新罪与原罪的关联性及管辖权的具体情况来确定，具体如下：

1. 若新罪与原罪属于同一机关管辖，且符合并案条件：

   • 处置方式：公安机关可以并案侦查。这意味着公安机关将继续对犯罪嫌疑人进行拘留，并就新发现的罪行一并展开调查，无需将案件移交其他机关。
   • 法律依据：根据《公安机关办理刑事案件程序规定》的相关规定，一人犯数罪、共同犯罪、共同犯罪的犯罪嫌疑人还实施其他犯罪等情形，可以并案侦查。

2. 若新罪属于其他机关管辖，但与原罪有牵连或关联：

   • 处置方式：公安机关在初步侦查后，应将新罪部分移送有管辖权的机关处理，同时可以就原罪继续侦查。若两罪之间存在紧密的牵连关系，可能涉及管辖权争议的，需报请共同上级机关指定管辖。
   • 法律依据：根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，对于管辖权有争议的案件，可以由共同的上级机关指定管辖。

3. 若新罪完全属于其他机关管辖，且与原罪无直接关联：

   • 处置方式：公安机关在发现新罪后，应立即停止对新罪的侦查，并将相关线索和材料移送有管辖权的机关。同时，公安机关可以继续就原罪对犯罪嫌疑人进行拘留和侦查。
   • 注意事项：在此过程中，公安机关应确保犯罪嫌疑人的合法权益不受侵害，避免因案件移送而导致的侦查中断或延误。

总结与建议：

• 公安机关在刑事拘留后发现新罪时，应首先判断新罪与原罪的关联性及管辖权情况。
• 根据具体情况，选择并案侦查、移送管辖或报请指定管辖等合适的处置方式。
• 在整个过程中，公安机关应严格遵守法律法规，确保侦查活动的合法性和有效性。

若您在此类问题上还有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。