核心结论：抑郁症患者在网吧自杀，网吧老板是否担责需分情况讨论，主要取决于网吧是否尽到了安全保障义务。以下分情况具体说明：

1. 网吧已尽到安全保障义务，一般不担责
   根据《民法典》第1198条，公共场所的管理人（如网吧老板）未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应承担侵权责任。但若网吧已采取合理措施预防自杀（如安装监控、定期巡查、张贴警示标识、发现异常及时劝阻或报警等），且自杀行为是患者突然实施、无法预见的，则网吧老板通常不承担责任。例如：患者趁工作人员不备，在厕所或隐蔽角落自杀，网吧无过错。

2. 网吧未尽到安全保障义务，可能担责
   若网吧存在明显过错，如：

   • 已知患者有自杀倾向（如患者曾明确表示要自杀，或网吧员工目睹患者情绪异常但未干预）；
     
   • 网吧设施存在安全隐患（如窗户无防护栏、刀具等危险物品未妥善保管）；
     
   • 未履行基本巡查义务（如患者长时间未离开座位，工作人员未询问情况）。
     此时，网吧老板可能因未尽到安全保障义务，需承担部分赔偿责任（按过错程度划分比例）。

3. 特殊情形：患者为未成年人
   若患者是未成年人，网吧还需承担额外审查义务。根据《未成年人保护法》，网吧不得接纳未成年人。若违规接纳未成年人且其自杀，网吧可能因违法经营和未尽安全保障义务，承担更重的责任。

建议：若您是网吧老板，建议完善安全管理制度（如培训员工识别异常行为、定期检查设施、张贴急救电话等），以降低法律风险；若您是患者家属，可结合具体证据（如监控、证人证言）判断网吧是否存在过错，再决定是否主张权利。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的法律责任。