结论前置：员工入职刚满一个月但不愿意签订劳动合同，公司终止劳动关系时是否需要支付经济补偿，需分情况讨论。若公司已尽到通知义务且员工无正当理由拒绝签订，公司终止劳动关系无需支付经济补偿；若公司未尽到通知义务或员工拒绝签订有合理理由，公司终止劳动关系可能需要支付经济补偿或双倍工资。
详细分析
公司已尽到通知义务，员工无正当理由拒绝签订
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第五条，自用工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿，但是应当依法向劳动者支付其实际工作时间的劳动报酬。
- 具体操作：公司应在员工入职后一个月内，以书面形式通知员工签订劳动合同。若员工无正当理由拒绝签订，公司可以书面形式通知员工终止劳动关系，并支付员工实际工作时间的劳动报酬，无需支付经济补偿。
公司未尽到通知义务，或员工拒绝签订有合理理由
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。此外，若因公司原因导致员工拒绝签订劳动合同（如合同条款不合法、不合理等），公司终止劳动关系时可能需要支付经济补偿。
- 具体操作与后果：
- 双倍工资支付：若公司未在员工入职后一个月内与员工签订劳动合同，且员工未拒绝签订或拒绝签订无合理理由，公司应从用工之日起满一个月的次日起，向员工每月支付双倍的工资，直至补签劳动合同前一日或劳动关系终止之日。
- 经济补偿支付：若因公司原因（如合同条款不合法、不合理等）导致员工拒绝签订劳动合同，公司终止劳动关系时，可能需要按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。经济补偿的计算方式为员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
维权途径与建议
- 与公司协商：首先尝试与公司沟通，了解公司终止劳动关系的原因，并要求公司按照法律规定支付相应的劳动报酬或经济补偿。
- 向劳动监察部门投诉：若协商不成，员工可向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门将对公司的违法行为进行调查和处理。
- 申请劳动仲裁：员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付双倍工资差额或经济补偿。申请时需准备相关证据，如工资条、考勤记录、书面通知等，以证明劳动关系、工资情况及公司未尽到通知义务或合同条款不合法、不合理等事实。
- 提起诉讼：若对劳动仲裁结果不服，员工可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
注意事项
- 具体的赔偿金额和计算方式可能因地区差异、具体案情等因素有所不同。
- 遇到此类情况，建议员工尽快咨询专业律师或当地劳动仲裁机构，以便更好地了解自己的权益并寻求合适的解决方案。
综上所述，员工入职刚满一个月但不愿意签订劳动合同，公司终止劳动关系时是否需要支付经济补偿，需根据具体情况进行判断。员工应了解自身权益，并通过合法途径积极维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。