结论前置：公司在特定情形下辞退员工无需支付补偿金或赔偿金，但必须严格遵守相关法律法规和程序规定。以下是具体情形及法律解释：

1. 员工在试用期间被证明不符合录用条件

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，若员工在试用期间被证明不符合录用条件，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 明确录用条件：公司需在招聘时明确岗位的录用条件，如学历、工作经验、技能要求等，并向员工公示或告知。
  • 客观考核：在试用期内，公司应对员工的工作表现进行客观、公正的考核，并保留相关证据，如考核记录、工作成果等。
  • 及时通知：若员工经考核不符合录用条件，公司应及时制作《解除劳动合同通知书》并送达员工。

2. 员工严重违反公司规章制度

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，若员工严重违反公司规章制度，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 规章制度合法有效：公司的规章制度必须合法有效，制定程序需经职工代表大会或全体职工讨论确定，并向员工公示或告知。
  • 严重违反行为：公司需能够证明员工存在严重违反规章制度的行为，如多次旷工、严重失职、营私舞弊等，并提供相应证据，如考勤记录、书面警告等。

3. 员工严重失职，营私舞弊，给公司造成重大损害

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项，若员工因严重失职或营私舞弊行为给公司造成重大损害，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 明确重大损害标准：公司应在规章制度中明确“重大损害”的标准，如经济损失的具体金额、影响范围等。
  • 提供证据：公司需提供证据证明员工的严重失职、营私舞弊行为，以及该行为与重大损害之间的因果关系。

4. 员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本单位工作

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项，若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经公司提出拒不改正，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 存在兼职事实：公司需证明员工确实存在同时与其他单位建立劳动关系的事实。
  • 严重影响工作：公司需证明员工的兼职行为对本单位工作任务造成了严重影响，或在提出反对意见后员工仍未改正。

5. 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立劳动合同

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第五项，若员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 提供欺诈证据：公司需提供证据证明员工存在欺诈、胁迫或乘人之危的行为，如提供虚假学历、隐瞒重要工作经历等。
  • 因果关系证明：公司还需证明该行为与劳动合同订立或变更之间的因果关系。

6. 员工被依法追究刑事责任

• 法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，若员工被依法追究刑事责任，公司可以解除劳动合同且无需支付补偿金。
• 操作要点：
  • 生效法律文书：公司需持有人民法院的生效判决或裁定等法律文书作为证据。
  • 及时通知员工：公司应及时制作《解除劳动合同通知书》并送达员工。

7. 特定用工形式下的无需支付补偿金情形

• 非全日制用工：根据《中华人民共和国劳动合同法》第七十一条，非全日制用工双方当事人任何一方都可以随时通知对方终止用工，且用人单位不向劳动者支付经济补偿。
• 劳务派遣退回后无工作期间：被派遣劳动者因特定情形被用工单位退回，且在劳务派遣单位无工作期间，若劳务派遣单位依据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条的规定重新派遣时维持或提高劳动合同约定条件但劳动者不同意，劳务派遣单位可依法解除劳动合同，此时可能不涉及经济补偿。

总结与建议：公司在辞退员工时，必须确保辞退决定的合法性和合理性，严格遵守相关法律法规和程序规定。同时，公司也应注重保护员工的合法权益，避免不必要的法律纠纷。若您在劳动纠纷、劳动合同领域有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。