在交通事故精神伤残鉴定等级保险公司不认，且双方通过法院诉讼解决争议的情况下，两边律师通常会按照以下步骤来处理：

一、准备阶段

1. 收集证据：

   • 原告（通常是交通事故中的伤者）的律师需要收集所有与伤残鉴定相关的证据，包括鉴定报告、医疗记录、事故现场照片、证人证言等。
   • 被告（保险公司）的律师则可能会收集证据来质疑伤残鉴定的准确性或合法性。

2. 研究法律：

   • 双方律师都需要深入研究相关的法律法规，特别是与伤残鉴定、保险理赔相关的条款，以便为案件提供有力的法律支持。

二、庭审阶段

1. 陈述事实与理由：

   • 在庭审中，原告律师会详细陈述事故经过、伤残情况以及鉴定等级，强调保险公司应该按照鉴定结果给予赔偿。
   • 被告律师则会针对原告的主张提出质疑，可能包括质疑鉴定机构的资质、鉴定过程的公正性或鉴定结论的准确性等。

2. 质证与辩论：

   • 双方律师会对对方提交的证据进行质证，提出自己的观点和反驳意见。
   • 在辩论环节，双方律师会围绕案件的关键点进行激烈的交锋，试图说服法官支持己方的诉求。

三、法院裁决阶段

1. 审查证据与鉴定意见：

   • 法官会仔细审查双方提交的证据和鉴定意见，评估其真实性、合法性和关联性。
   • 如果法官对原鉴定意见存在疑问，可能会要求重新鉴定或委托其他鉴定机构进行鉴定。

2. 作出裁决：

   • 在充分考虑双方的主张和证据后，法官会根据事实和法律作出裁决。
   • 如果法官认为原鉴定意见准确、合法，且保险公司无合理理由拒绝承认，那么保险公司可能需要按照鉴定结果给予赔偿。
   • 如果法官认为原鉴定意见存在问题，可能会采纳重新鉴定的结果或作出其他裁决。

四、后续处理

1. 执行裁决：

   • 如果保险公司对裁决结果无异议，需要按照裁决结果履行赔偿义务。
   • 如果保险公司对裁决结果有异议，可能会选择上诉等法律途径来维护自己的权益。

2. 法律咨询与帮助：

   • 在整个诉讼过程中，双方律师都会为当事人提供法律咨询和帮助，确保他们的权益得到充分保护。

整体来看，在交通事故精神伤残鉴定等级保险公司不认且通过法院诉讼解决争议的情况下，两边律师会按照法律程序进行充分的准备和激烈的辩论，最终由法院根据事实和法律作出裁决。