面对交通事故伤残鉴定结果被对方保险公司不认可，且重新鉴定后没有评定出伤残等级的情况，您可以按照以下步骤来处理：

一、明确保险公司不认可的理由

首先，您需要与保险公司进行深入沟通，明确其不认可伤残鉴定结果的具体理由。这可能是因为保险公司对鉴定机构的资质、鉴定程序的合法性或鉴定依据的充分性等方面存在疑虑。了解这些理由后，您可以更有针对性地解决问题。

二、协商重新选定鉴定机构

如果保险公司的不认可理由与鉴定机构资质或鉴定程序有关，您可以与保险公司协商，共同选定一家具有合法资质、双方都认可的鉴定机构进行重新鉴定。在协商过程中，您可以强调原鉴定机构可能存在的问题，以及新鉴定机构的优势和可靠性。

三、准备相关证据支持主张

在协商或诉讼过程中，您需要准备充分的证据来支持自己的主张。这些证据包括但不限于：

1. 事故责任认定书：证明事故发生的经过和责任划分。
2. 医疗记录：包括病历、诊断证明、治疗记录等，证明您的伤情和治疗过程。
3. 原伤残鉴定报告：虽然保险公司不认可，但可以作为参考，展示原鉴定机构的意见和依据。
4. 其他相关证据：如现场照片、证人证言等，有助于证明事故的真实性和您的伤情。

四、考虑通过法律途径解决

如果与保险公司的协商无法达成一致，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。具体来说：

1. 提起民事诉讼：您可以向法院提起民事诉讼，要求法院对伤残等级进行认定，并判决保险公司承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，法院会根据双方提供的证据和重新鉴定结果来认定伤残等级。
2. 申请法院指定鉴定机构：在诉讼中，如果双方对伤残等级存在争议，您可以申请法院指定一家具有合法资质的鉴定机构进行重新鉴定。法院指定的鉴定机构通常具有更高的权威性和公信力。

五、理解并接受重新鉴定结果

如果经过重新鉴定后，仍然没有评定出伤残等级，您需要理解并接受这一结果。伤残等级的评定是一个复杂而专业的过程，受到多种因素的影响。虽然结果可能不尽如人意，但您仍然可以通过其他途径来寻求赔偿，如医疗费用、误工费、护理费等。

六、寻求专业法律帮助

在整个过程中，如果您感到困惑或无法独自应对，可以寻求专业法律帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的权益。

总之，面对交通事故伤残鉴定结果被保险公司不认可的情况，您需要保持冷静、理性应对，通过协商、准备证据、法律途径等方式来维护自己的权益。