当您与用人单位已经连续签订了两次固定期限劳动合同，而第三次合同到期时用人单位没有提出续签，这种情况下的处理方式和您的权益保障，主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。以下是对此问题的详细解答：
一、用人单位不续签的法律后果
无固定期限劳动合同的订立要求：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同后，且您没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），在续订劳动合同时，除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与您订立无固定期限劳动合同。
经济补偿的支付：
- 如果用人单位违反上述规定，拒绝与您续签劳动合同，这构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条，用人单位需要按照您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
赔偿金的支付：
- 在某些情况下，如果用人单位的违法行为较为严重，除了支付经济补偿金外，还可能需要支付赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。但这一赔偿金的支付通常需要满足更严格的条件，如用人单位恶意不续签等。
二、您的权利及应对措施
要求签订无固定期限劳动合同：
- 如果您符合签订无固定期限劳动合同的条件，且希望继续在该单位工作，您可以向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。如果用人单位拒绝，您可以向劳动监察部门投诉，要求用人单位改正。
主张经济补偿：
- 如果用人单位不续签合同且无正当理由，您可以通过劳动仲裁主张经济补偿。在申请仲裁前，建议您准备好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以证明劳动关系的存在、工作年限、工资待遇及单位不续签的事实。
选择解除劳动关系并获得补偿：
- 如果您不想继续在该单位工作，也可以因单位不续签合同的违法行为选择解除劳动关系，并要求用人单位支付经济补偿。
协商沟通：
- 在采取法律手段前，您可以先尝试与用人单位协商沟通，了解不续签的具体原因，并尝试说服用人单位续签合同或达成和解。
申请仲裁或诉讼：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请仲裁，或向法院提起诉讼，要求单位支付经济补偿金或赔偿金，或履行签订无固定期限劳动合同的义务。
三、特殊情况处理
- 如果用人单位在续签合同时降低了劳动合同中约定的条件（如降低工资、调整工作岗位等），而您不同意续签，用人单位也需要支付经济补偿。
- 如果用人单位维持或提高了劳动合同约定的条件去续订，而您不同意续订，则用人单位无需支付经济补偿。
四、建议
面对这种情况，我建议您首先与用人单位进行友好沟通，了解不续签的具体原因。如果沟通无果，且您认为自己的权益受到了侵害，那么及时采取法律手段来维护自己的合法权益是非常重要的。您可以咨询专业的劳动法律师，或者向当地的劳动监察部门、劳动仲裁机构寻求帮助。