结论：在劳动仲裁过程中，一般不可以直接将传票寄到被仲裁员工的新公司，但存在特殊情况。以下从不同角度进行分析：
一般情况
送达地址的确定原则：
- 根据相关法律规定，送达诉讼文书应当直接送交受送达人本人。如果受送达人是公民，本人不在交他的同住成年家属签收；受送达人有诉讼代理人的，可以送交其代理人签收；受送达人已向人民法院指定代收人的，送交代收人签收。在劳动仲裁中，同样遵循类似的送达原则，即优先送达给员工本人或其指定的代收人。
- 传票作为重要的诉讼文书，其送达需要确保员工本人能够实际收到并了解仲裁的相关信息，以便其能够按时参加仲裁活动，维护自己的合法权益。因此，直接寄到新公司并不符合一般的送达原则，因为新公司并非员工的法定送达地址或指定送达地址。
新公司作为送达地址的潜在问题：
- 如果员工并未将新公司地址作为其有效送达地址告知仲裁机构，或者仲裁机构并未通过合法程序确认新公司地址为员工的有效送达地址，那么将传票寄到新公司可能导致员工无法及时收到传票，进而影响其参加仲裁活动的权利。
- 此外，即使员工在新公司工作，新公司也并无义务代为接收员工的传票。如果新公司拒绝接收或未能及时转交传票给员工，同样可能导致员工错过仲裁活动。
特殊情况
员工同意或指定新公司为送达地址：
- 如果员工在仲裁过程中明确同意或指定新公司作为其送达地址，并且这一信息已经得到了仲裁机构的确认和记录，那么在这种情况下，将传票寄到新公司是可行的。但这种情况需要员工主动提出并经过仲裁机构的确认，以确保送达的有效性。
通过合法程序确认新公司为送达地址：
- 在某些特殊情况下，如果仲裁机构通过合法程序（如公告送达前的调查、询问等）确认了员工的新公司地址为其有效送达地址，并且员工在该地址能够实际收到传票，那么也可以将传票寄到新公司。但这种情况需要严格的程序保障和证据支持，以确保送达的合法性和有效性。
法律建议
- 对于员工：在劳动仲裁过程中，应确保提供准确、有效的送达地址给仲裁机构，并保持联系方式的畅通。如果更换工作或居住地址，应及时告知仲裁机构，以便仲裁机构能够及时、准确地送达相关诉讼文书。
- 对于仲裁机构：在送达传票等诉讼文书时，应严格遵守相关法律规定和送达程序，确保送达的有效性。如果无法直接送达给员工本人或其指定代收人，可以考虑采用公告送达等其他合法方式。
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