供养亲属抚恤金享有者死亡后，其直系亲属一般无权继续领取该抚恤金。以下从不同角度进行详细分析：

1. 从抚恤金的性质和目的来看： 供养亲属抚恤金是职工因工死亡后，为了保障其生前供养的直系亲属的基本生活而发放的一种补偿。这种补偿是基于职工生前对直系亲属的供养关系而存在的。一旦供养亲属抚恤金享有者死亡，这种供养关系就自然终止，因此，其直系亲属也就失去了继续领取抚恤金的法律基础。

2. 从相关法律法规的规定来看： 根据《工伤保险条例》等相关法律法规的规定，供养亲属抚恤金是发放给因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属的。这些亲属通常包括配偶、子女、父母等。但是，当这些享有抚恤金的亲属死亡后，他们就不再属于需要供养的对象，因此也就无法继续领取抚恤金。

3. 从实际操作和案例来看： 在实际操作中，如果供养亲属抚恤金享有者死亡，其直系亲属通常需要向相关部门报告这一情况，并停止领取抚恤金。如果隐瞒不报而继续领取，可能会构成不当得利，甚至可能面临法律责任。同时，从已有的案例来看，法院也通常会支持这一观点，即供养亲属抚恤金享有者死亡后，其直系亲属无权继续领取。

综上所述，供养亲属抚恤金享有者死亡后，其直系亲属一般无权继续领取该抚恤金。如果对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。