若抚恤金的继承人死亡，其原本有权继承的份额并不会因其死亡而直接消失，而是会按照法定继承或遗嘱继承的规则，转由该死亡继承人的合法继承人来继承。以下是对这一问题的详细分析：

一、抚恤金的性质与继承原则

抚恤金是国家或单位在特定情况下（如职工因工死亡、因病死亡等）向死者家属发放的一种经济补偿，旨在慰藉死者家属，帮助其度过经济困难时期。从法律性质上看，抚恤金不属于死者的遗产，但在实际操作中，其分配往往参照遗产继承的原则进行。

二、继承人死亡后的继承规则

1. 法定继承：

   • 若抚恤金的继承人（即原本有权获得抚恤金的人）在抚恤金发放前或发放后死亡，且该继承人未留下遗嘱，则其原本有权继承的抚恤金份额将按照法定继承的规则，转由其合法继承人来继承。
   • 法定继承人的范围通常包括配偶、子女、父母等近亲属，具体顺序和份额由《中华人民共和国民法典》等法律规定。

2. 遗嘱继承：

   • 若抚恤金的继承人在死亡前留下了遗嘱，且遗嘱中明确指定了抚恤金的分配方式，则应按照遗嘱的指示进行分配。
   • 若遗嘱中未提及抚恤金，或遗嘱无效，则仍按照法定继承的规则进行分配。

三、实际操作中的注意事项

1. 及时办理继承手续：

   • 在抚恤金继承人死亡后，其合法继承人应及时向相关部门（如单位、社保机构等）申报继承情况，并办理相关继承手续，以确保抚恤金能够顺利发放。

2. 保留相关证据：

   • 合法继承人应保留好与死者关系证明、继承权证明等相关证据，以便在办理继承手续时提供。

3. 协商与调解：

   • 若在继承过程中出现争议或纠纷，合法继承人之间应首先尝试通过协商或调解的方式解决。若协商或调解无果，则可通过法律途径解决。

四、举例说明

假设某职工因工死亡，单位发放了一笔抚恤金。该职工的配偶、子女和父母均为合法继承人。若配偶在抚恤金发放前死亡，则其原本有权继承的抚恤金份额将转由其子女和父母（即配偶的法定继承人）来继承。具体份额将按照法定继承的规则进行分配。

总结来说，抚恤金的继承人死亡后，其原本有权继承的份额并不会消失，而是会按照法定继承或遗嘱继承的规则转由其合法继承人来继承。在处理此类问题时，建议合法继承人及时办理继承手续，并保留好相关证据。若有问题，可以直接向我咨询。