核心结论：若不小心卖了过期饼干，首先要保持冷静，然后按照以下步骤处理与顾客的沟通及后续事宜，包括诚恳道歉、陪同就医、协商赔偿等，以降低法律风险并维护自身声誉。

具体处理步骤及分析：

1. 诚恳道歉：

   • 立即联系顾客：一旦发现售出过期饼干，应第一时间通过电话、短信或社交媒体等方式联系购买该饼干的顾客，表达歉意。
   • 道歉内容：道歉时应明确承认错误，如“非常抱歉，我们不小心将过期的饼干售卖给了您，这是我们的疏忽，我们对此深感愧疚。”
   • 态度诚恳：道歉时要保持真诚、谦逊的态度，避免推卸责任或找借口，让顾客感受到你的诚意和重视。

2. 陪同就医：

   • 主动提出陪同：在道歉的同时，应主动提出陪同顾客前往医院进行检查，以确认顾客是否因食用过期饼干而出现身体不适。
   • 承担医疗费用：如果顾客确实因食用过期饼干而生病，应主动承担医疗费用，包括检查费、治疗费等，以体现你的责任感和诚意。
   • 关注顾客病情：在陪同就医过程中，要密切关注顾客的病情变化，及时与医生沟通，了解治疗方案和预后情况。

3. 协商赔偿：

   • 提出赔偿方案：根据顾客的损失情况，如医疗费用、误工费、精神损失费等，提出合理的赔偿方案。
   • 协商达成一致：与顾客进行协商，尽量达成双方都能接受的赔偿协议。如果顾客提出的赔偿要求过高或不合理，可以耐心解释并寻求妥协。
   • 签订赔偿协议：一旦达成赔偿协议，应签订书面协议，明确赔偿金额、支付方式、支付时间等条款，以避免后续纠纷。

4. 加强内部管理：

   • 检查库存：对店内所有商品进行全面检查，确保没有过期或即将过期的商品在售。
   • 完善进货记录：建立完善的进货记录制度，记录每批商品的进货日期、保质期等信息，以便及时下架过期商品。
   • 培训员工：对员工进行食品安全和消费者权益保护方面的培训，提高他们的法律意识和责任意识，避免类似事件再次发生。

后续法律风险防范：

• 保留证据：在处理此事过程中，要保留好所有相关证据，如道歉记录、陪同就医的凭证、赔偿协议等，以备不时之需。
• 关注顾客反馈：持续关注顾客的反馈和意见，及时改进服务质量和商品管理，提升顾客满意度和忠诚度。
• 咨询法律意见：如果此事涉及较大金额的赔偿或可能引发法律纠纷，建议咨询专业律师（即向我咨询）的意见，以便更好地维护自身权益。

作为拥有多领域法律实务经验的律师，我建议你在处理此类事件时务必保持冷静、诚恳和负责任的态度，以降低法律风险并维护自身声誉。如果你有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。