打人逃跑后，公安部门会依据相关法律法规进行立案调查，并采取相应的措施追究其法律责任。

一. 立案与调查

1. 立案勘验：公安部门会立即立案，并对案发现场进行勘验，搜集证据，包括证人陈述、影像资料等。如果有人受伤，还会进行伤口评估。

2. 追踪嫌疑人：公安部门会采取各种方法追踪嫌疑人的踪迹，如审问嫌疑人的朋友、查看监控录像等。

二. 法律责任判定

1. 轻微伤：若被打者伤情鉴定为轻微伤，公安部门将对肇事者实施治安处罚，依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，可处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。同时，肇事者还需承担受害人的医疗费、误工费等相关费用。

2. 轻伤及以上：若被打者伤情达到轻伤及以上，构成故意伤害罪，公安部门将启动立案调查程序，追究肇事者的刑事责任。依据《刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。此外，肇事者还需承担民事赔偿责任，赔偿受害者医疗费、误工费、护理费等损失。

三. 逃逸行为的影响

1. 影响定性量刑：逃逸行为可能影响案件的定性和量刑。若被认定为有逃避侦查等情节，处罚可能会加重。

2. 持续追查：无论肇事者是否逃逸，公安部门都会持续追查，直至将其抓获并依法处理。

我的观点是，打人逃跑并不能逃避法律责任。公安部门会依据法律程序进行立案调查，并采取相应的措施追究其法律责任。因此，我建议任何涉及此类行为的人都应主动投案自首，积极配合调查处理，以争取从轻处罚。如有进一步需要，您可以继续咨询我。