打了人逃跑后，派出所会依法展开调查并根据情节轻重进行处理，具体处理方式如下：
立案调查：派出所接到报案后，会首先进行立案调查，收集相关证据，包括现场勘查、询问目击者、调取监控录像等，以确定打人事实是否存在以及打人者的身份。
追捕逃犯：如果打人者逃跑，派出所会将其列为在逃人员，并采取相应的追捕措施，如发布通缉令、通过技术手段追踪等，以尽快将其抓获归案。
根据情节轻重处理：
- 轻微伤或情节较轻：如果打人行为造成轻微伤或情节较轻，根据《治安管理处罚法》的规定，打人者可能面临五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 轻伤或重伤：如果打人行为造成轻伤或重伤，则可能构成故意伤害罪，根据《刑法》的规定，打人者将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制（轻伤）；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
民事赔偿：除了行政处罚或刑事处罚外，打人者还需要承担民事赔偿责任，包括赔偿受害者的医疗费、误工费、护理费等经济损失。
建议：
- 如果您是受害者，应及时向派出所报案，并配合调查工作，提供相关证据和线索，以便派出所尽快破案并维护您的合法权益。
- 如果您是打人者或其家属，应尽快劝说打人者投案自首，争取从轻或减轻处罚。同时，也应积极与受害者协商赔偿事宜，以减轻法律后果。
温馨提醒：在任何情况下，暴力都不是解决问题的最佳方式。遇到纠纷或冲突时，应保持冷静和理性，通过合法途径解决争议。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。