结论前置：父亲不支付抚养费并不能成为断绝父子关系的法律依据，亲子关系基于血缘产生，无法通过法律手段或其他方式人为解除。但子女可以通过法律手段来维护自己获得抚养费的合法权益。

详细分析如下：

一、亲子关系的法律性质与不可断绝性

亲子关系，特别是基于血缘的父母子女关系，是客观存在且无法通过法律程序或其他方式人为解除的。这种关系不因父母离婚、不支付抚养费或其他任何原因而消除。在我国法律体系中，亲生父母与子女的关系受到法律的严格保护，确保了亲子关系的稳定性和不可剥夺性。

二、父亲不支付抚养费的法律后果及应对措施

1. 法律后果：

   • 父亲不履行支付抚养费的义务，违反了法律规定，需承担相应的法律责任。这可能包括被法院判决支付拖欠的抚养费，以及可能的利息或违约金。
   • 若父亲拒不执行法院的判决，还可能面临强制执行措施，如查询、冻结、划拨其银行存款，查封、扣押、拍卖其财产等。情节严重的，还可能被罚款、拘留，甚至构成拒不执行判决、裁定罪，被依法追究刑事责任。

2. 应对措施：

   • 协商解决：首先，直接抚养子女的一方可以与父亲就抚养费问题进行沟通和协商，明确抚养费的数额、支付方式和时间等，争取达成一致协议，促使父亲自觉履行支付义务。
   • 诉讼解决：若协商不成，可以向人民法院提起诉讼。具体步骤包括：
     • 确定管辖法院：一般向被告（即不支付抚养费的父亲）住所地人民法院提起诉讼；若被告住所地与经常居住地不一致，由经常居住地人民法院管辖。
     • 准备诉讼材料：通常需要准备起诉状、双方的身份信息、孩子的出生证明、离婚协议书或离婚判决书等，以证明亲子关系以及抚养费相关约定或判决的证据材料。
     • 法院审理与判决：法院受理案件后会进行审理，综合考虑子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平等因素，确定抚养费的数额和支付方式。如果父亲经法院判决后仍拒不支付抚养费，另一方可以在判决生效后向法院申请强制执行。

三、加强家庭教育与法律意识

为确保子女能够得到应有的关爱和抚养，父母应加强家庭教育和法律意识，明白自己的责任和义务，自觉履行抚养子女的法定义务。同时，社会也应加强对家庭教育的引导和支持，促进家庭和谐与子女的健康成长。

总结与建议：

面对父亲不支付抚养费的情况，子女应通过法律途径来维护自己的权益，包括协商、诉讼和强制执行等。试图通过断绝关系来解决问题是不可行的，也是不符合法律规定的。因此，建议当事人在遇到此类问题时，及时向我咨询，我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和帮助，确保你的合法权益得到保障。