当借款到期后出借人死亡，其继承人若希望追讨债务，可以根据不同的基础法律关系选择相应的案由来起诉债务人的继承人。以下是对此问题的详细解答：

一、主要案由选择

1. 被继承人债务清偿纠纷

   • 适用情况：这是最常见且直接由《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条规定的案由。当债务人死亡后，其遗留的债务需由继承人在继承遗产范围内承担清偿责任。
   • 法律依据：继承人以所得遗产实际价值为限清偿债务；超过部分，除非继承人自愿偿还，否则不负清偿责任；若继承人放弃继承，则对债务不负责任。
   • 实例：如甲向乙借款后去世，甲的继承人丙继承了甲的部分财产，乙可基于被继承人债务清偿纠纷起诉丙，要求在继承范围内偿还借款。

2. 民间借贷纠纷（若基础法律关系是民间借贷）

   • 适用情况：若债务源于民间借贷，即使债务人死亡，债权人仍可以民间借贷纠纷为案由起诉继承人。
   • 法律依据：除民法典外，还涉及《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》，该规定对借贷关系的成立、利息等进行了详细规定。
   • 实例：张三借给李四资金并约定了期限和利息，李四死亡后，张三可以民间借贷纠纷为由起诉李四的继承人，要求其按约定偿还借款本息。

3. 合同纠纷（若债务源于合同关系）

   • 适用情况：当债务基于合同产生，如买卖合同、租赁合同等，债务人在合同履行中死亡时，债权人可以合同纠纷为案由起诉继承人。
   • 法律依据：《中华人民共和国民法典》第五百七十七条规定了违约责任的承担，继承人在继承遗产范围内可能需承担相应责任。
   • 实例：甲公司与乙签订货物买卖合同后，乙未完全支付货款即去世。甲公司可以合同纠纷为由起诉乙的继承人，要求其在继承范围内支付剩余货款及承担违约责任。

二、起诉条件与流程

1. 确定继承人：

   • 债权人需要首先确定债务人的法定继承人或遗嘱继承人。
   • 如果债务人有留下遗嘱，应优先按照遗嘱内容确定继承人；如果没有遗嘱，则按照法定继承顺序确定继承人。

2. 收集证据：

   • 债权人应收集证明借贷关系或合同关系的有效证据，如借条、转账记录、聊天记录、合同文本等。
   • 同时，也需要准备债务人死亡的相关证明，如死亡证明、户籍注销证明等。

3. 提起诉讼：

   • 债权人应向有管辖权的人民法院提起诉讼，明确诉讼请求，即要求继承人在继承遗产的实际价值范围内承担还款责任或合同责任。

4. 法院审理与判决：

   • 法院将依法审理案件，核实债权债务关系及继承人的身份和继承情况。
   • 如债权债务关系或合同关系成立且继承人未放弃继承，法院将判决继承人在继承遗产的实际价值范围内承担相应责任。

三、注意事项

1. 诉讼时效：

   • 债权人应注意诉讼时效问题，确保在法定时效期内提起诉讼。一般来说，民间借贷或合同纠纷的诉讼时效为三年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

2. 继承人放弃继承：

   • 如果继承人明确表示放弃继承，则其对被继承人的债务不负清偿责任。此时，债权人无法向该继承人追讨债务。

3. 遗产范围与清偿顺序：

   • 继承人仅以所得遗产实际价值为限清偿债务。如果遗产不足以清偿全部债务，债权人可能无法全额受偿。
   • 在有多个继承人的情况下，各继承人应按照各自继承的遗产份额比例分担债务。

4. 执行程序：

   • 如果判决生效后继承人拒不履行还款义务或合同义务，债权人可以申请法院强制执行。法院将依法对继承人的财产进行查封、扣押、拍卖等处置措施以实现债权。

综上所述，当借款到期后出借人死亡，其继承人可以根据不同的基础法律关系选择相应的案由来起诉债务人的继承人。在处理此类案件时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助，确保自身权益得到有效维护。