结论：员工私自多次收款一千多元，一般情况下不构成犯罪，但具体是否构成犯罪需结合行为性质、是否利用职务便利、是否非法占有财物以及数额是否达到刑事立案标准等因素综合判断。若行为不构成犯罪，也可能面临公司纪律处分或民事追责。
详细分析：
职务侵占罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百七十一条，职务侵占罪要求行为人利用职务上的便利，将本单位财物非法占为己有，且数额较大。通常，数额较大的标准为三万元以上。因此，仅私自收款一千多元，未达到职务侵占罪的立案标准。
- 实例：若员工利用职务便利，多次私自收取客户款项，但累计金额未达到三万元，则不构成职务侵占罪。
盗窃罪：
- 盗窃罪要求行为人以非法占有为目的，秘密窃取公私财物，且数额较大。数额较大的标准因地区而异，但一般为一千元至三千元以上。然而，员工私自收款的行为，若未采用秘密窃取的手段，而是利用职务便利或客户信任进行收取，则不构成盗窃罪。
- 实例：若员工以欺骗手段让客户将款项打入其个人账户，且累计金额达到当地盗窃罪的立案标准，则可能构成盗窃罪。但本题中仅提及私自收款一千多元，未提及欺骗手段，故不构成盗窃罪。
不构成犯罪的情形：
- 若员工私自收款的行为未达到上述各罪名规定的立案标准，或行为不具备相应犯罪构成要件，则一般不构成犯罪。
- 但此类行为可能违反公司规章制度或职业道德，公司有权依据内部规定对员工进行纪律处分，如警告、罚款、辞退等。
- 同时，员工需将私自收取的款项返还给公司，否则可能面临民事上的不当得利诉讼，公司有权要求员工返还并赔偿损失。
法律建议：
- 对于公司：应加强内部管理，明确员工职责和权限，建立健全的财务制度和监督机制，以防止员工私自收款等违规行为的发生。一旦发现此类行为，应立即进行调查处理，并根据情况决定是否向公安机关报案。
- 对于员工：应增强法律意识，遵守法律法规和公司规定，不得私自收款或利用职务之便谋取私利。若因个人原因需要收取款项，应事先征得公司同意，并按照公司规定的流程进行操作。
可能后果：
- 若员工私自收款行为不构成犯罪，但违反公司规定，可能面临公司纪律处分，如警告、罚款、辞退等。
- 若员工拒不返还私自收取的款项，公司有权通过民事诉讼要求员工返还并赔偿损失。
- 若员工私自收款行为构成犯罪（如数额达到刑事立案标准或采用欺骗手段等），则将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、罚金等。
总结：员工私自多次收款一千多元，一般情况下不构成犯罪，但可能违反公司规定或职业道德。为避免法律风险，建议公司加强内部管理，员工增强法律意识，共同维护良好的职场环境。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。