针对收银员多次私自收钱总额一千多元的情况，可按以下步骤处理：

1. 内部调查与证据固定
   首先需通过监控录像、收银系统记录、同事证言等证据，确认收银员私自收款的具体次数、金额及行为模式（如是否利用系统漏洞、是否与顾客串通等）。若证据充分，可初步认定其违反公司规章制度或涉嫌职务侵占。

2. 区分行为性质

   • 若金额未达刑事立案标准（通常为6万元以上）：
     根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可因员工“严重违反用人单位的规章制度”或“严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害”解除劳动合同，且无需支付经济补偿。需注意：
     
     • 公司规章制度中需明确禁止私自收款行为，并规定相应处罚条款；
       
     • 解除合同前需通知工会（如有），并保留书面送达证据。
       
   • 若金额接近或可能达到刑事标准：
     根据《刑法》第二百七十一条，职务侵占罪立案标准为6万元以上，但部分地区可能降低至3万元。若累计金额虽仅一千余元，但存在多次行为、手段恶劣或造成其他损失（如公司声誉受损），可向公安机关报案，由其调查是否构成治安违法（如《治安管理处罚法》第四十九条的盗窃行为）或刑事犯罪。

3. 追偿与损失计算
   即使不追究刑事责任，公司仍有权要求收银员返还私收款项，并可依据实际损失（如调查费用、顾客流失损失等）主张赔偿。若员工拒绝，可通过劳动仲裁或民事诉讼解决。

4. 预防与制度完善
   建议公司：

   • 完善收银流程（如双人核对、系统自动记录异常交易）；
     
   • 定期审计账目；
     
   • 在员工手册中明确私自收款的处罚措施，并组织培训确保员工知晓。

温馨提示：处理此类事件需兼顾法律程序与证据完整性，避免因操作不当导致维权困难。如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我说明，我会为您提供更针对性的建议。