结论前置：您在工作五个月未签订劳动合同且被辞退的情况下，有权要求用人单位支付双倍工资差额、补缴社会保险费用，并可能获得其他损失赔偿。具体赔偿金额和方式需根据实际情况和法律规定确定。
一、双倍工资差额的赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条第一款的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式：
- 计算期间：从用工之日起满一个月的次日至实际用工满五个月为止，即计算四个月的双倍工资差额。
- 计算公式：\(双倍工资差额 = 月工资 \times 4\)。其中，月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 示例：若您的月工资为5000元，则用人单位应额外支付20000元（5000元/月 × 4月）作为未签订劳动合同的赔偿。
二、社会保险费用的补缴
法定义务：
- 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险，即使未签订劳动合同，也应补缴这五个月的社会保险费用。
补缴内容：
- 包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。
三、其他损失赔偿
赔偿情形：
- 若因未签订劳动合同导致您遭受其他损失，如无法享受某些福利待遇等，用人单位需承担相应的赔偿责任。
赔偿金额和方式：
- 具体赔偿金额和方式需根据实际情况和法律规定进行协商或仲裁确定。
四、维权途径与证据准备
协商：
- 作为最直接且成本较低的方式，您可与用人单位的人力资源部门或负责人沟通，指出未签订劳动合同的违法性，并要求按法律规定支付赔偿。
申请劳动仲裁：
- 若协商不成，您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请时，需准备相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录（尽管您提到没有打卡记录，但其他如工作证、同事证言等也可作为证据）、同事证言等，以证明劳动关系及工作时间。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，您可向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需遵循法律程序，提供充分证据支持诉求。
五、特别提醒
- 在维权过程中，请确保保留好所有与用人单位相关的证据，如工资条、工作证、工作邮件等，以便在需要时提供证明。
- 若您对法律程序不熟悉，建议寻求专业法律人士的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
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