结论：警察一般不会直接因为孩子在学校被推磕断一颗门牙这一事件，就给对方留案底。是否留案底取决于对方的行为是否构成犯罪以及是否经过法院审判确定有罪。
详细分析：
关于“案底”的定义：
- “案底”通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为被法院审判并确定有罪后，留下的记录。这种记录一般会被保存在公安机关的系统中，对个人的未来可能产生一定影响，如影响就业、出国等。
孩子在学校被推磕断门牙的性质：
- 这通常属于一般的侵权行为或意外事件，并不直接构成犯罪。除非推人者的行为具有故意伤害的故意，且造成了较为严重的后果（如轻伤以上），才可能构成故意伤害罪。
警察的处理方式：
- 在此类事件中，警察通常会进行调查，了解事情的经过和原因。如果推人者的行为不构成犯罪，警察可能会进行调解，让双方协商解决赔偿等问题。
- 如果推人者的行为涉嫌犯罪，警察会依法进行立案侦查，收集证据，并将案件移送检察院审查起诉。最终，是否留案底取决于法院的审判结果。
留案底的条件：
- 留案底需要满足两个条件：一是行为构成犯罪；二是经过法院审判确定有罪。只有同时满足这两个条件，才会留下犯罪记录。
法律建议：
- 如果孩子在学校被推磕断门牙，家长应首先与学校沟通，了解事情的经过，并要求学校协助处理。
- 如果推人者的行为较为恶劣或拒绝赔偿，家长可以考虑报警或向法院提起民事诉讼，要求推人者承担相应的民事责任。
- 在整个过程中，家长应保留好相关证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以便在需要时提供证明。
后续行动：
- 如果家长对警察的处理方式或结果有疑问，可以向公安机关的上级部门或相关部门进行投诉或咨询。
- 如果家长认为孩子的权益受到了严重侵害，也可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更详细的法律建议和帮助。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律解答。