核心结论：工作了5个月被开除，且签约了3年劳动合同的情况下，赔偿问题主要取决于开除的合法性及原因。若开除不合法，您有权要求继续履行合同或获得赔偿金；若开除合法，则可能无需支付赔偿金，但需根据具体情况判断是否需支付经济补偿金。

详细分析：

1. 开除不合法的情况：

   • 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，劳动者有权要求继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。
   • 赔偿金计算：赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在您工作了5个月的情况下，若开除不合法，您有权要求用人单位支付1个月工资作为经济补偿的二倍，即2个月工资作为赔偿金。
   • 示例：假设您的月工资为5000元，则赔偿金为10000元。

2. 开除合法的情况：

   • 无需支付赔偿金：若用人单位因您存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等情形而合法开除您，则无需支付赔偿金。
   • 经济补偿金：然而，在某些合法开除的情况下，如用人单位因经营困难、裁员等原因而开除您，且符合《劳动合同法》的相关规定，则可能需要支付经济补偿金。但这种情况下的经济补偿金计算方式与上述违法解除时的赔偿金不同，且通常不会达到赔偿金的标准。在您工作了5个月的情况下，若符合支付经济补偿金的条件，则用人单位应支付您半个月工资作为经济补偿。
   • 示例：同样假设您的月工资为5000元，则经济补偿金为2500元。但需注意，这并非所有合法开除情况下都会支付，具体需根据开除原因及法律规定判断。

特别提醒：

• 开除原因的举证责任：在劳动争议中，用人单位需对其开除劳动者的合法性承担举证责任。若用人单位无法提供充分证据证明其开除行为的合法性，则可能被认定为违法解除劳动合同。
• 协商与仲裁：若您与用人单位就赔偿问题无法达成一致，您可以先尝试与用人单位协商解决；协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 收集证据：保留与用人单位签订的劳动合同、工资单、工作证等证据，以证明您与用人单位的劳动关系及您的工资水平。
• 咨询专业意见：如有需要，您可以向我进一步咨询，以便更准确地了解您的权益及可能的赔偿金额。

总之，工作了5个月被开除且签约了3年劳动合同的情况下，赔偿问题需根据开除的合法性及原因来判断。若您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。