在公证执行证书不予执行的情况下，当事人是可以起诉的。以下是对此问题的详细分析：
一、公证执行证书不予执行的原因
公证执行证书不予执行，通常是因为公证债权文书存在错误或不符合执行条件。这些错误可能包括债权债务关系不真实、不合法，或者公证程序严重违法（例如公证员未按照法定程序进行公证）等。当法院认为公证债权文书存在这些问题时，会裁定不予执行。
二、起诉的法律依据和途径
法律依据：
- 根据《中华人民共和国公证法》第三十九条，当事人、公证事项的利害关系人认为公证书有错误的，可以向出具该公证书的公证机构提出复查。若公证书的内容违法或者与事实不符，公证机构应当撤销该公证书并予以公告，该公证书自始无效；公证书有其他错误的，公证机构应当予以更正。
- 若对公证机构的复查决定不满，或认为公证员存在违法违规执业行为，当事人还可以向当地司法行政部门投诉。
- 在特定情况下，如公证债权文书确有错误且法院裁定不予执行，当事人可以就该争议向人民法院提起民事诉讼。
起诉途径：
- 民事诉讼：当公证执行证书不予执行，且当事人认为其合法权益受到侵害时，可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，当事人需要提供相关证据，证明公证债权文书存在错误或不符合执行条件，以及自身因此遭受的损失。
- 行政诉讼（特定情况下）：如果公证机构的具体行政行为（如不予受理复查申请、未履行法定职责等）侵犯了当事人的合法权益，且符合行政诉讼的受案范围，当事人也可以提起行政诉讼。但需注意，行政诉讼并非直接针对公证书内容本身，而是针对公证机构的具体行政行为。
三、起诉的注意事项和建议
- 保留证据：在起诉前，当事人应妥善保留与公证债权文书相关的所有证据和文件，包括公证书原件、相关合同或协议、付款凭证等。这些证据将在诉讼过程中发挥关键作用。
- 明确诉讼请求：在起诉时，当事人应明确其诉讼请求，即要求法院确认公证债权文书的错误或无效，并判决对方承担相应的法律责任。
- 寻求专业法律支持：由于涉及法律程序和证据规则，建议当事人在起诉前咨询专业律师，以获得更具体的法律建议和指导。
四、可能的法律后果
- 若起诉成功：法院将确认公证债权文书的错误或无效，并判决对方承担相应的法律责任。这可能包括返还财产、赔偿损失等。
- 若起诉失败：法院将维持公证债权文书的效力，当事人可能需要承担不利的法律后果。因此，在起诉前，当事人应充分评估其诉讼请求的合理性和证据的充分性。
总结来看，在公证执行证书不予执行的情况下，当事人是有权起诉的。但起诉前应充分了解相关法律依据和途径，保留好相关证据，并明确诉讼请求。如有需要，可以向我咨询更具体的法律建议和指导。