一般违法情况下，事业单位通常不可以随意开除员工，但严重违法时可能被开除。具体分析如下：

1. 一般违法行为的处理
   事业单位员工若存在一般违法行为（如轻微违反治安管理规定），通常不会直接导致开除。根据《事业单位人事管理条例》第二十八条，事业单位工作人员有“严重违反职业道德、社会公德的行为”或“严重失职，对本单位造成重大损害”等情形时，才可能被解聘。一般违法行为若未达到“严重”程度，单位可能通过警告、记过、降级等处分措施处理，而非直接开除。

2. 严重违法行为的后果
   若员工行为构成犯罪（如贪污、受贿、渎职等），且被依法追究刑事责任，根据《事业单位人事管理条例》第十八条，事业单位可以单方面解除聘用合同。此外，若违法行为同时违反《公务员法》或行业特殊规定（如教师违反师德、医生违反医德），也可能触发更严厉的处分，包括开除。

3. 程序合法性要求
   即使员工存在严重违法行为，事业单位开除员工也需严格遵循法定程序，包括调查取证、听取陈述申辩、经单位领导集体讨论决定等。若程序违法（如未履行告知义务、未给予申辩机会），员工可能通过申诉或诉讼主张权利，要求撤销开除决定。

建议：若您或您所在单位涉及此类问题，需结合具体违法行为性质、证据充分性及程序合规性综合判断。如有疑问，可直接向我咨询，我将结合案例与法规提供详细分析。