针对您提出的“有逾期还可以开建设银行卡吗”这一问题，以下是我的详细解答：

结论前置：

• 办理储蓄卡（借记卡）：即使您在建设银行有逾期记录，通常仍然可以办理储蓄卡。因为储蓄卡主要作为日常资金存储、收付和结算的工具，并不涉及信用透支，银行在办理时主要关注的是您是否提供了有效的身份证件等必要资料，并满足基本的开户条件。

• 办理信用卡：逾期记录则会对信用卡的办理产生较大影响。银行在审批信用卡申请时，会严格评估申请人的信用状况和还款能力。逾期记录会体现在个人征信报告中，成为银行审核的重要依据。一旦发现申请人有逾期记录，银行可能会认为其信用风险较高，从而拒绝核发信用卡或降低信用卡额度。

详细分析：

1. 办理储蓄卡：

   • 在办理储蓄卡时，银行主要关注的是您的身份信息和开户条件，如是否提供了有效的身份证件、是否满足年龄等基本要求。
   • 除非您的逾期情况非常严重，被建设银行列入内部黑名单，或涉及与该银行相关的法律纠纷且银行采取了管控措施，否则一般不会影响储蓄卡的办理。

2. 办理信用卡：

   • 信用卡的办理与申请人的信用状况紧密相关。逾期记录会降低您的信用评级，从而影响信用卡的审批结果。
   • 银行会根据逾期程度来决定是否批准信用卡申请。轻微逾期可能有机会获批，但额度可能较低；严重逾期则大概率被拒。
   • 不同银行对于信用记录的评估标准可能有所不同，有些银行对逾期情况更加敏感，审批更为严格。

建议与措施：

• 如果您需要办理储蓄卡，只需携带有效身份证件前往建设银行网点即可。
• 如果您打算办理信用卡，建议先自查个人征信报告，了解自身信用状况。对于轻微逾期的申请人，可通过及时还清欠款、保持良好消费和还款习惯等方式改善信用记录，提高申请成功率。
• 若遇到银行拒绝办理信用卡的情况，可咨询专业律师或金融机构顾问，了解相关法律规定及可能的解决方案。

综上所述，有逾期记录时，您仍然可以办理建设银行的储蓄卡，但办理信用卡的难度会增大。具体能否成功办理，还需根据您的个人信用状况、银行的审批政策及是否被列入黑名单等因素综合判断。