关于您提出的“不离职但经常请病假是否合法”的问题，这需要从多个角度来综合分析。

首先，从劳动法的角度来看，劳动者确实享有休息休假的权利，这其中包括了因患病而申请病假的权利。当劳动者因身体原因无法正常工作时，有权根据医疗机构出具的病假证明向用人单位申请病休。这是劳动法赋予劳动者的合法权益，应当得到尊重和保护。

然而，另一方面，劳动者的请假行为也会对用人单位的正常用工秩序造成一定影响。因此，劳动者在行使病假权利的同时，也应当尊重用人单位的用工管理权。这意味着，劳动者在申请病假时，需要提供真实、有效的病假证明，并遵守用人单位的病假管理制度。如果劳动者滥用病假权利，如无正当理由长期休病假、弄虚作假申请病假等，就可能构成对用人单位用工管理权的侵犯。

在实际操作中，如果劳动者经常请病假且无法提供合理的病假证明或解释，用人单位有权根据依法制定的规章制度对劳动者的病假申请进行实质审核。如果用人单位发现劳动者的病假申请存在弄虚作假、违反劳动纪律或职业道德等行为，那么用人单位有权依据规章制度对劳动者进行处理，甚至解除劳动合同。

以您提供的案例为例，周某在病假期间拒绝公司合理的返岗要求、擅自更换医院重新出具病假资料、病假期间隐瞒多次外出情形等行为，已经违反了劳动者应当遵守的劳动纪律和职业道德。因此，公司根据依法制定的《员工手册》解除与周某的劳动关系是合法的。

综上所述，不离职但经常请病假是否合法，取决于劳动者请病假的理由是否真实、合理，以及是否遵守了用人单位的病假管理制度和劳动纪律。如果劳动者能够提供真实、有效的病假证明，并遵守用人单位的相关规定，那么其请病假的行为就是合法的。反之，如果劳动者滥用病假权利或违反相关规定，那么用人单位有权依据规章制度对劳动者进行处理。