和下一个公司签订劳动协议，一般不会影响上一个公司的劳动赔偿。以下从不同角度为你详细分析：

从法律责任独立性角度

每个用人单位的劳动责任都是独立的。上一个公司对你承担的劳动赔偿义务，是基于你与该公司在劳动关系存续期间发生的特定事实，比如未依法支付工资、未缴纳社保、违法解除劳动合同等。这些责任的产生和履行，只与你和上一个公司之间的劳动关系相关，与后续和其他公司签订劳动协议没有直接的法律关联。

举例来说，如果你因为上一个公司未按照劳动合同约定支付加班费而申请劳动仲裁，要求该公司支付拖欠的加班费及相应的经济补偿。这种情况下，仲裁机构或法院在审理时，只会审查你与上一个公司之间关于加班事实、工资支付约定等证据，不会因为你已经和下一个公司签订了劳动协议，就减轻或免除上一个公司的赔偿责任。

从特殊情况角度

虽然一般情况下签订新劳动协议不影响旧赔偿，但也存在一些特殊情况可能会产生间接影响：

1. 主动放弃权利：如果你和上一个公司就劳动赔偿事宜进行协商，在协商过程中，你明确表示因为已经找到新工作，愿意放弃部分或全部应得的赔偿，并且双方达成了书面协议。那么在这种情况下，你后续就不能再主张这部分已经放弃的赔偿。不过，这种影响是你主动行为导致的，而不是签订新劳动协议本身直接造成的。
2. 新协议中的特殊约定：极少数情况下，新的劳动协议中可能会有一些特殊条款，比如约定你在新公司工作后，放弃对上一个公司的一切劳动权益主张。但这种条款如果违反了法律的强制性规定，或者是在你不知情、被胁迫等情况下签订的，是不具有法律效力的。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，违反法律、行政法规的强制性规定的民事法律行为无效；一方以欺诈、胁迫的手段，使对方在违背真实意思的情况下实施的民事法律行为，受欺诈方或受胁迫方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。

法律建议

1. 保留证据：无论你是否已经和下一个公司签订劳动协议，对于上一个公司可能涉及的劳动赔偿问题，都要保留好相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、解除劳动合同通知书等。这些证据在后续主张权利时非常重要。
2. 谨慎签订新协议：在和下一个公司签订劳动协议时，要仔细阅读协议条款，特别是关于权益放弃、竞业限制等可能影响你之前劳动权益的条款。如果有不明白的地方，要及时向公司询问或咨询专业律师。
3. 及时主张权利：如果你认为上一个公司存在应当支付劳动赔偿的情形，要及时向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼，避免因为超过诉讼时效而丧失主张权利的机会。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

如果你在处理这类劳动赔偿问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。