结论前置：针对您提出的问题，即职工小拇指和无名指最后一节各截肢一节，单位停工留薪期满但未痊愈，医院是否应继续处理的问题，以下是我的详细解答。

1. 停工留薪期的确定与延长：

• 根据《工伤保险条例》的相关规定，停工留薪期一般根据工伤职工的伤情和医院出具的诊断证明来确定。对于您描述的情况，即小拇指和无名指最后一节各截肢一节，这通常会被认定为较为严重的工伤，停工留薪期可能会相对较长。
• 如果停工留薪期满，但工伤职工仍未痊愈，需要继续治疗的，可以申请延长停工留薪期。这通常需要提供医院出具的诊断证明和继续治疗的建议，由用人单位向当地劳动能力鉴定委员会提出申请。

2. 医院的责任与义务：

• 医院在工伤职工的治疗过程中，有责任和义务提供必要的医疗服务，包括诊断、治疗、康复等。如果停工留薪期满，但工伤职工仍未痊愈，医院应继续提供治疗服务，并根据病情需要调整治疗方案。
• 医院不应因停工留薪期满而拒绝继续治疗或要求工伤职工出院。如果医院存在此类行为，工伤职工或其家属可以向当地卫生行政部门投诉或寻求法律援助。

3. 工伤职工的权益保障：

• 工伤职工在停工留薪期内，享有原工资福利待遇不变的权益。如果停工留薪期延长，这一权益也应继续享有。
• 工伤职工有权要求用人单位按照工伤保险的规定支付医疗费用、康复费用等。如果用人单位未依法支付，工伤职工可以向当地劳动保障监察部门投诉或申请劳动仲裁。

4. 实际操作建议：

• 首先，与用人单位沟通，了解其对停工留薪期延长的态度，并要求其协助办理延长手续。
• 同时，收集医院出具的诊断证明和继续治疗的建议，作为申请延长停工留薪期的依据。
• 如果用人单位不配合或拒绝支付相关费用，可以向当地劳动保障监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

5. 可能的法律后果：

• 如果用人单位未依法支付工伤职工的医疗费用、康复费用等，可能会面临劳动保障监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
• 工伤职工如果因用人单位的违法行为而遭受损失，还可以通过法律途径要求用人单位承担赔偿责任。

综上所述，针对您提出的问题，如果停工留薪期满但工伤职工仍未痊愈，医院应继续提供治疗服务，并可以根据病情需要调整治疗方案。同时，工伤职工有权要求用人单位按照工伤保险的规定支付相关费用，并可以通过法律途径维护自己的合法权益。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律帮助。