结论：自愿加班在法律上是被允许的，但前提是员工出于真实意愿且未受到任何形式的强制或变相强制。结合新闻背景，湖南桃江县人民医院医护人员反映的工会活动要求学脱口秀并背演讲稿的情况，若医护人员是自愿参与且未受到强制，则这种自愿加班（或自愿参与活动）是合法的；但若存在强制或变相强制，则可能涉及违法。
自愿加班的合法性分析
员工真实意愿：
- 自愿加班的核心在于员工是否出于真实意愿。如果员工是基于工作热情、职业发展考虑或为了完成个人工作任务而主动加班，且没有受到公司的任何强制、诱导或变相强迫，那么这种自愿加班是合法的。
- 在新闻背景中，如果医护人员是自愿参与工会活动并背演讲稿，且未受到医院的强制或变相强制，那么这种行为可以视为自愿加班的一种形式，是合法的。
公司行为合法性：
- 公司让员工“自愿加班”时，必须确保员工出于真实意愿，且不得变相强制或诱导员工加班。例如，公司不能通过绩效考核、奖金分配等方式给员工施加压力，使员工不得不“自愿”加班。
- 在新闻背景中，如果医院通过某种方式（如暗示、批评等）迫使医护人员参与活动，即使表面上称为“自愿”，也可能构成变相强制，从而违反法律规定。
自愿加班的报酬问题
- 通常情况下，自愿加班的员工不能获得加班费，因为加班费是基于企业安排或指派的加班工作产生的。而员工自愿加班不属于企业统一调度管理的范畴。
- 然而，如果公司有明确的制度或协议规定自愿加班的报酬，那么员工有可能获得相应的报酬。在这种情况下，公司应根据自身制度和协议合理安排自愿加班的报酬问题。
- 在新闻背景中，如果医院有规定参与活动的医护人员可以获得某种形式的补偿或奖励，且这种规定是合法且合理的，那么医护人员有权获得相应的报酬。
新闻背景中的法律问题
- 根据新闻报道，湖南桃江县人民医院医护人员反映医院工会活动要求他们学脱口秀并背演讲稿，且表示在病房忙得不可开交，背演讲稿会影响到正常工作。这引发了关于自愿加班（或自愿参与活动）合法性的讨论。
- 如果医护人员是自愿参与活动且未受到医院的强制或变相强制，那么这种行为是合法的。但如果医院存在强制或变相强制的行为，如通过绩效考核、奖金分配等方式迫使医护人员参与活动，那么这种行为可能违反法律规定。
- 幸运的是，根据后续报道，医院已经开会投票表决取消了演讲比赛活动，这体现了医院对员工意愿的尊重和对法律规定的遵守。
对公众的启示
- 对于员工而言，应了解自己的权益和义务，在面对自愿加班或参与活动时保持清醒的头脑，确保自己的行为是出于真实意愿且未受到任何形式的强制或变相强制。
- 对于公司而言，应尊重员工的自主选择权，避免任何形式的强制或变相强制加班或参与活动。同时，公司应根据自身制度和协议合理安排自愿加班或参与活动的报酬问题。
总结：自愿加班在法律上是被允许的，但前提是员工出于真实意愿且未受到任何形式的强制或变相强制。在面对类似新闻背景中的情况时，我们应保持客观中立的立场，基于法律事实进行分析和判断。如果您有任何关于劳动工伤方面的法律问题，可以直接向我咨询。