结论：孩子将自家的戒指给同学联系买家并出售，在戒指已无发票的情况下，戒指有可能被追回，但具体能否追回及责任区分需视情况而定。
一、戒指能否被追回
物权法角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，物权的取得和行使，应当遵守法律，尊重社会公德，不得损害公共利益和他人合法权益。戒指作为您的私有财产，孩子无权处分。
- 若买家明知或应知戒指非孩子所有而购买，则该买卖行为可能构成无权处分，您作为物权人有权要求返还戒指。
实际操作角度：
- 能否追回戒指还取决于能否找到买家、买家是否愿意返还以及是否愿意通过法律途径解决等因素。
- 若戒指已被转卖或无法找到买家，则追回的难度会大大增加。
二、责任区分
孩子的责任：
- 孩子作为未成年人，若其年龄、智力适应情况与其行为的性质、内容相适应，则可能需承担一定的责任。但通常，由于孩子是未成年人，其责任能力有限，因此主要责任可能由监护人承担。
- 若孩子故意或重大过失导致戒指被出售，监护人可能需要承担相应的赔偿责任。
同学的责任：
- 同学若明知戒指非孩子所有而协助出售，则可能构成共同侵权，需承担连带责任。
- 若同学不知情或仅起辅助作用，则可能责任较轻或无需承担责任。
买家的责任：
- 买家若明知或应知戒指非孩子所有而购买，则可能构成善意取得的反面情况，即非善意取得，您有权要求其返还戒指。
- 若买家是善意取得（即不知情且支付了合理对价），则根据法律规定，您可能无法直接要求买家返还戒指，但可以向无权处分人（孩子）主张损害赔偿。
三、建议措施
收集证据：
- 尽快收集与戒指相关的所有证据，包括购买凭证（尽管已丢失，但可尝试从其他途径获取）、照片、视频等。
- 收集孩子与同学之间的聊天记录、交易记录等，以证明戒指的出售过程。
与买家协商：
- 尝试与买家联系，说明情况，要求其返还戒指。
- 若买家拒绝返还，可考虑通过法律途径解决。
寻求法律帮助：
- 若情况复杂或无法自行解决，建议及时咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护您的合法权益。
后续思考：在处理此类事件时，应充分考虑孩子的年龄、智力状况以及各方的过错程度。同时，加强与孩子的沟通，教育其尊重他人财产权，避免类似事件再次发生。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。