在行政诉讼中，如果当事人当庭增加诉讼请求，处理方式需遵循一定的法律程序和原则。以下是对此问题的详细解答：
一、当庭增加诉讼请求的基本原则
在行政诉讼过程中，当事人有权根据案件进展或新发现的证据等因素，提出增加诉讼请求的愿望。然而，这一行为必须严格遵守法律规定的时间限制，并给出充足的理由支持，以确保请求的合法性和合理性。
二、当庭增加诉讼请求的处理方式
被告同意且不损害公共及他人权益：
- 若被告同意原告当庭增加诉讼请求，且该请求不损害国家、社会公共利益和他人合法权益，法院通常会合并审理，并对新增的请求一并作出裁判。
被告不同意：
- 若被告不同意原告当庭增加诉讼请求，法院需对新增请求的合理性进行审查。
- 如果法院认为新增请求理由正当，可能会视情况决定是否准许。若准许，法院会重新确定举证期限等程序事项，以确保诉讼的顺利进行。
- 如果法院认为新增请求理由不成立，则会驳回原告增加请求的申请。
三、法律条文依据
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条，当事人在诉讼过程中可以变更或者增加诉讼请求，但是不得违反法律规定。
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十六条，当事人变更或者增加诉讼请求，应当在第一审法庭辩论终结前提出。
四、实际操作建议
尽量在举证期限届满前提出：
- 为避免影响诉讼进程，当事人应尽量在举证期限届满前提出诉讼请求，包括增加的诉讼请求。这样有助于法院更好地安排庭审，确保诉讼的顺利进行。
提交书面申请：
- 如果当事人确实需要在庭审过程中增加诉讼请求，建议向法院提交一份书面的申请，详细解释为什么要增加请求以及新的证据是什么。这有助于法院更好地理解当事人的诉求，并作出合理的判断。
尊重法院决定：
- 无论法院是否准许当事人当庭增加诉讼请求，当事人都应尊重法院的决定，并积极配合法院的审理工作。如果法院准许了增加请求，当事人应按照法院的要求重新确定举证期限等程序事项；如果法院驳回了增加请求的申请，当事人也应接受这一结果，并继续参与诉讼。
五、案例说明
假设在某行政诉讼案件中，原告在庭审过程中当庭增加了要求被告支付某项费用的诉讼请求。被告表示不同意对新增请求进行审理，认为这打乱了自己的诉讼准备。此时，法院需对原告新增诉讼请求是否准许作出处理。如果法院认为原告新增请求理由正当，且不损害国家、社会公共利益和他人合法权益，可能会准许并重新确定举证期限等程序事项；如果法院认为原告新增请求理由不成立，则会驳回其增加请求的申请。
综上所述，当事人在行政诉讼中当庭增加诉讼请求时，应遵循法律规定的时间限制和程序要求，并给出充足的理由支持。同时，当事人也应尊重法院的决定，并积极配合法院的审理工作。