检察院终结审查之后又发现新证据，申请检察监督是合法的。以下从不同角度对此问题进行详细分析：
一、法律依据与合法性基础
根据《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定，人民检察院在审查起诉过程中，如果发现案件事实不清、证据不足，或者存在其他应当不起诉的情形，可以作出不起诉决定，即终结审查。然而，这并不意味着案件的终结就绝对不可逆转。若在终结审查后，检察院又发现了新的证据，这些证据可能对案件的定性或量刑产生重大影响，那么检察院有权根据新证据的情况，重新审视案件，并决定是否需要启动检察监督程序。
二、检察监督的启动条件与程序
启动条件：
- 新证据的发现：这是启动检察监督的前提。新证据应当是与案件事实直接相关，且可能影响案件处理结果的证据。
- 证据的合法性与关联性：新证据必须是通过合法途径获取，且与案件事实具有直接关联性。
- 监督的必要性：基于新证据，原不起诉决定可能存在错误或不当，需要予以纠正。
启动程序：
- 提交申请：相关当事人或检察机关内部认为需要启动检察监督的，可以向上一级人民检察院提交申请，并附上新证据及相关材料。
- 审查与决定：上一级人民检察院在收到申请后，会对新证据进行审查，并根据审查结果决定是否启动检察监督程序。
- 监督实施：如果决定启动检察监督，上一级人民检察院会按照法定程序进行监督，包括重新审查案件、提请抗诉等。
三、实际操作中的注意事项
- 证据的收集与保存：在发现新证据后，应当及时、合法地收集并保存证据，确保证据的完整性和真实性。
- 申请的及时性与准确性：在提交检察监督申请时，应当确保申请的及时性和准确性，避免因申请不当而延误监督时机。
- 配合检察机关的调查：在检察监督过程中，应当积极配合检察机关的调查工作，提供必要的协助和支持。
四、可能的法律后果
- 原不起诉决定的撤销：如果检察监督认为原不起诉决定存在错误或不当，可能会撤销原决定，并重新作出起诉决定。
- 案件的重新审理：在检察监督的推动下，案件可能会进入重新审理阶段，由法院对案件进行重新审判。
- 对当事人的影响：检察监督的结果可能会对当事人的权益产生重大影响，包括但不限于刑事责任的承担、民事赔偿的确定等。
总结与建议：
检察院终结审查之后又发现新证据，申请检察监督是合法的。在实际操作中，应当注意证据的收集与保存、申请的及时性与准确性以及配合检察机关的调查等工作。如果面临此类情况，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。