当您在民事检察监督过程中发现新的证据时，可以按照以下步骤和注意事项来处理：

一、新证据的提交与审核

1. 及时提交：

   • 您应在申请检察监督时，将新发现的证据一并提交给人民检察院。根据《民事诉讼法》的相关规定，以“新证据”为由申请再审，必须在知道或者应当知道之日起6个月内提出，但这一时间限制主要针对的是向法院申请再审的情形。在向检察院申请监督时，虽无明确的6个月限制，但建议尽早提交，以便检察院能及时审查。
   • 若原庭审中已提供但未经质证、认证，且足以推翻原裁判的证据，其证据价值尚未得到体现的，也可视为“新证据”并提交。

2. 证据形式要求：

   • 新证据必须符合一般证据的基本属性，即客观性、关联性和合法性。它必须是对客观事实的真实反映，与原诉讼法律关系或诉讼程序息息相关，且证据取得必须合法。
   • 证据在形式上要满足时间条件，即新的证据必须是在原庭审结束前已经客观存在的证据，且您应在发现其证明价值后及时提交。

3. 检察院的审核：

   • 人民检察院在收到您的新证据后，会进行必要的审核，包括对证据的真实性、关联性、合法性进行审查，以及评估其是否足以推翻原判决、裁定。
   • 检察院还会对法官认定“新证据”适当与否进行审查，以实现“实事求是、有错必纠”与尊重意思自治之间、实体公正与程序公正之间、正义与效率之间的平衡。

二、新证据的认定标准

1. 足以推翻原判决、裁定：

   • 新证据必须具备足以推翻原判决、裁定的效力。根据《民诉法解释》第385条的规定，新的证据能够证明原判决、裁定认定基本事实或者裁判结果错误的，应当认定为符合再审条件。
   • 基本事实是指对原判决、裁定的结果有实质性影响，用以确定当事人主体资格、案件性质、具体权利义务和民事责任等主要内容所依据的事实。

2. 当事人的过错程度：

   • 最高人民法院的相关通知特别强调，将考量当事人的过错程度作为确认“新证据”的前提。即当事人在证据提供上是否存在故意或重大过失，决定了其新提供的证据能否作为“新证据”被采信。
   • “故意”通常指当事人故意隐瞒与案件有重大关系的证据或明知该证据的存在而不积极作为；对重大过失的考量则要结合当事人的受教育程度、对法律的认知程度等因素综合评判。

三、后续程序与注意事项

1. 配合检察院工作：

   • 在整个民事检察监督过程中，您应积极配合检察院的工作，包括提供补充材料、说明相关问题、参与听证或询问等。
   • 保持与检察院的密切沟通联系，及时了解案件进展情况，并尊重检察院的监督决定。

2. 尊重监督决定：

   • 若检察院经审查认为原民事判决、裁定存在应当抗诉的情形，将向同级法院的上一级法院提出抗诉；若不符合抗诉条件但原审裁判存在问题或审判过程存在不规范行为，检察院可向同级法院提出检察建议。
   • 若检察院认为原民事判决、裁定认定事实清楚、适用法律正确、程序合法，或您的监督申请缺乏事实和法律依据，将作出终结审查的决定。您应尊重并接受这一决定。

3. 异议申诉：

   • 如对检察院的决定有异议，您可按照法律规定的方式提出申诉或复议请求。

总之，当您在民事检察监督过程中发现新的证据时，应及时提交给人民检察院，并配合其进行审核和认定工作。同时，尊重检察院的监督决定，并在必要时依法提出异议申诉。