单位因你生病离职而拒绝支付实际工作天数的工资是违法的，你有权要求单位支付应得的工资，并可通过法律途径来维护自己的合法权益。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、工资支付的法律义务
工资支付原则：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第五十条，工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。这意味着，只要你在单位工作了，无论时间长短，单位都应按你实际工作的天数支付工资。
- 《中华人民共和国劳动合同法》也规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应按照约定或国家规定及时足额支付劳动报酬。即使未签订劳动合同，但形成了事实上的劳动关系，同样受法律保护。
未签订劳动合同的情况：
- 虽然你工作仅半个月，单位未及时签订劳动合同虽不符合《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定（建立劳动关系时应订立书面劳动合同，若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，应在用工之日起一个月内订立），但在此期间内暂无需承担额外的赔偿责任（超过一个月未签，则从第二个月起需支付双倍工资）。不过，这并不影响你要求单位支付实际工作天数的工资。
二、因病离职与工资支付的关系
- 除非能证明你的疾病与工作有直接关联且造成了重大损失，否则单位不能因此扣发你的工资。生病离职并不是单位拒付工资的合法理由。单位应当按照你实际工作的天数支付工资，这是单位的法定义务。
三、维权措施
与单位协商：
- 首先尝试与单位的人力资源部门或直接上级沟通，明确说明你已按要求完成工作，并因生病离职，要求单位按实际工作天数支付工资。
- 在沟通过程中，保留相关聊天记录或通话录音作为证据。
- 向单位提及相关法律法规，表明你了解自身权益，希望单位依法处理。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，你可以向当地劳动监察部门投诉。
- 准备能够证明你在该单位工作过的证据，如工作证、考勤记录、工资条（或工资核算记录）、同事证言等。
- 劳动监察部门将调查单位，若查证属实，会责令单位限期支付工资。
申请劳动仲裁：
- 若对劳动监察部门的处理结果不满意，或单位仍拒绝支付工资，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 提交仲裁申请书及相关证据材料，包括个人信息、单位信息、仲裁请求、事实和理由、证据及来源、证人信息等。
- 劳动仲裁一般会在受理后45天内作出裁决，复杂案件可延期但不超过15天。若对仲裁裁决不服，你可在规定时间内向人民法院提起诉讼。
在整个维权过程中，保留好相关证据是至关重要的。这些证据将有助于你证明自己的工作情况和单位的违法行为，从而维护自己的合法权益。如果你在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。