结论：工伤认定书下来后，若患者在医院死亡，是否需要申请停工留薪期，需根据患者死亡前的具体情况及医疗机构的诊断和休假建议来判断。
分析：
停工留薪期的定义与目的：
- 停工留薪期是指职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的期间。其目的在于保障受伤职工在接受治疗期间的基本生活和经济来源，由所在单位按月支付原工资福利待遇。
患者死亡前的情况判断：
- 若患者在工伤认定书下来后，但尚未进入停工留薪期或正在停工留薪期内因工伤导致死亡，此时停工留薪期的申请或继续享受已无实际意义，因为患者已无法再返回工作岗位。但这种情况下的医疗费用、丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等工伤待遇仍需根据相关规定申请和享受。
- 若患者在工伤认定书下来后，因其他非工伤原因（如疾病）在医院死亡，且此前未申请停工留薪期或已结束停工留薪期并返回工作岗位，则无需再申请停工留薪期。
- 若患者在工伤认定书下来后，病情严重需暂停工作接受治疗，但尚未申请停工留薪期即因工伤导致死亡，理论上其家属或单位可依据医疗机构的诊断证明（如患者生前最后阶段的医疗记录）尝试申请停工留薪期相关待遇（尽管实际操作中可能因患者已死亡而面临一定困难），但更关键的是申请工伤死亡相关待遇。不过，从实际操作和法律逻辑上讲，此时更侧重于处理工伤死亡后的相关事宜。
医疗机构的诊断和休假建议：
- 是否需要停工留薪期，最终需依据医疗机构出具的诊断证明及休假建议来确定。若患者死亡前，医疗机构已出具需暂停工作接受治疗的诊断证明，且该证明与工伤相关，则理论上可申请停工留薪期（尽管患者已死亡，但可视为其生前应享有的权利）。然而，在实际操作中，由于患者已死亡，可能更侧重于申请工伤死亡的相关待遇。
实际操作建议：
- 在患者死亡的情况下，家属或单位应首先关注工伤死亡的相关待遇申请，如丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 若患者死亡前确实存在需要暂停工作接受治疗的情况，且该情况与工伤直接相关，家属或单位可咨询当地社保部门或专业律师，了解是否有可能及如何申请停工留薪期相关待遇（尽管这种情况较为罕见且实际操作中可能面临困难）。
总结与建议：
在工伤认定书下来后患者死亡的情况下，是否需要申请停工留薪期并非首要考虑的问题。更重要的是关注工伤死亡的相关待遇申请。若患者死亡前确实存在需要暂停工作接受治疗且与工伤直接相关的情况，家属或单位可咨询专业律师或当地社保部门以获取更具体的指导和帮助。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。