结论：在此次内蒙航空值班经理救人溺亡的事件中，其家属有权要求被救者给予适当的补偿，但具体补偿方式和金额需根据实际情况和法律规定来确定。

事件回顾与法律定性

首先，回顾新闻背景，中国国际航空内蒙古有限公司运行控制中心值班经理黄启东，在即将退休之际，为救落水父子不幸遇难。这一英勇行为体现了黄启东的高尚品质和社会责任感。从法律角度来看，黄启东的行为属于见义勇为，即在没有法定或约定义务的情况下，为保护国家、集体的利益或他人的人身、财产安全，不顾个人安危，实施的救助行为。

补偿请求的法律依据

1. 无因管理：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无因管理是指没有法定的或约定的义务，为避免他人利益受损失而进行管理或者服务的行为。在此情况下，管理人有权要求受益人偿付由此而支付的必要费用。虽然法律并未直接规定见义勇为者可以要求补偿，但无因管理的原则为见义勇为者请求补偿提供了一定的法律基础。黄启东为救辛某父子而溺亡，可以视为一种无因管理行为，其家属有权要求被救者给予适当的补偿。

2. 公平原则：在民事法律关系中，公平原则是一项基本原则。它要求当事人在民事活动中应以社会正义、公平的观念指导自己的行为、平衡各方的利益。在此事件中，黄启东为了救助辛某父子而牺牲了自己的生命，从公平原则的角度出发，被救者辛某父子应当给予黄启东家属一定的补偿，以体现社会的公平和正义。

补偿的具体方式和金额

关于补偿的具体方式和金额，这需要根据实际情况和法律规定来确定。一般来说，补偿可以包括经济补偿和精神补偿两部分。经济补偿主要是对黄启东家属因黄启东牺牲而遭受的经济损失进行补偿，如丧葬费、被扶养人生活费等。精神补偿则是对黄启东家属因黄启东牺牲而遭受的精神痛苦进行慰藉，如通过道歉、慰问等方式进行。

在确定补偿金额时，可以考虑以下因素：黄启东的牺牲对家属造成的实际经济损失、黄启东的英勇行为对社会产生的积极影响、被救者的经济状况和补偿能力等。同时，也可以参考类似案例的补偿标准和司法实践中的做法。

对公众的启示

此事件不仅是一起令人痛心的悲剧，也是一次深刻的社会教育。它提醒我们，在面对他人危难时，我们应该勇于伸出援手，尽自己所能去帮助他人。同时，社会也应该建立健全的保障机制，对见义勇为者给予充分的保护和奖励，以鼓励更多的人参与到见义勇为的行动中来。

建议：如果黄启东的家属希望要求被救者给予补偿，可以先与被救者进行协商，看是否能够达成一致的补偿意见。如果协商不成，可以考虑通过法律途径来解决争议。在此过程中，建议家属咨询专业的法律人士，以获取更具体的法律建议和帮助。

总之，黄启东的英勇行为值得我们每一个人学习和尊敬。对于其家属的补偿请求，我们应该从法律和社会公平的角度出发，给予充分的支持和理解。